Tożsamość z funkcji tworzących

[Bourder]

Mam problem, otóż:
Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \sum_{i+j=s}(-1)^{i}{n\choose i}\vdot{n\choose j}=(-1)^{k}{n\choose k}}\), gdy \(\displaystyle{ s=2k}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i+j=s}(-1)^{i}{n\choose i}\vdot{n\choose j}=0}\), gdy \(\displaystyle{ \hbox{s jest nieparzyste}}\)
We wskazówce jest napisane, by skorzystać z iloczynu \(\displaystyle{ (1+X)^{n}(1-X)^{n}}\), ale jakoś nie potrafię dojść w tym do końca...
Starałem się skrócić ten iloczyn przez \(\displaystyle{ \sum_{i+j=s}X^{i+j}}\), ale mam wrażenie, że nie potrafię zbyt dobrze manipulować sumami.

Proszę o pomoc.

[szw1710]

\(\displaystyle{ (-1)^k\binom{n}{k}}\) jest współczynnikiem przy \(\displaystyle{ x^{n-k}}\) w rozwinięciu \(\displaystyle{ (x-1)^n}\). Patrz podobnie na to co masz zrobić. Niedawno też potrzebowałem podobnej równości. Podlinkuję Ci moje pytanie i odpowiedź ze StackExchange. \(\displaystyle{ [x^j](1+x)^n}\) oznacza tam współczynnik przy \(\displaystyle{ x^j}\) w rozwinięciu Newtona wyrażenia \(\displaystyle{ (1+x)^n}\).

... efficients