Zaburzanie sumy, liczby harmoniczne.

[NogaWeza]

Witam.
Chcę znaleźć jawny wzór sumy \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k H_k}\), gdzie \(\displaystyle{ H_k}\) oznacza \(\displaystyle{ k}\)-tą liczbę harmoniczną. Umiem to zrobić korzystając z rachunku różnicowego, jednak gdy chcę zaburzyć sumę, to coś mi nie wychodzi. Przypuszczam, że zaburzając tą sumę dostanę na przykład wzór na \(\displaystyle{ \sum H_k}\), podobnie jak zaburzając \(\displaystyle{ \sum k^2}\) dostajemy jawny wzór na \(\displaystyle{ \sum k}\). W każdym razie brakuje mi sprytu.

Zaprezentuję swoją próbę.

\(\displaystyle{ S_{n+1} = \sum_{k=0}^{n + 1} kH_{k} = 0 H_0 + \sum_{k=1}^{n+1}k H_k = \sum_{k=0}^{n} (k+1) H_{k+1}}\)
\(\displaystyle{ S_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} kH_k + (n+1)H_{n+1}}\)
Porównuję stronami
\(\displaystyle{ S_n + (n+1) H_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} (k+1)H_{k+1}}\)

No i dalej się zacinam. Wiem, bardzo twórcze to moje rozwiązanie Próbowałem prawą stronę rozbić na dwie sumy i jakoś zmieniać indeksy, podobnie lewą, ale nic nie osiągnąłem, dlatego tych prób nawet nie chce mi się przepisywać.

Gdyby ktoś mnie poratował jakąś wskazówką, to byłbym wdzięczny.

[Michalinho]

Tak, masz rację. Tym sposobem dostaniesz wzór jawny na \(\displaystyle{ \sum H_k}\).
Żeby to zrobić rozbij \(\displaystyle{ H_{k+1}}\) w \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (k+1)H_{k+1}\) na \(\displaystyle{ H_k+\frac{1}{k+1}}\).

A jeśli chcesz znaleźć wzór na \(\displaystyle{ \sum kH_k}\), to kombinuj potem z sumą:
\(\displaystyle{ \sum k^2H_k}\).
Przydatny będzie Ci wtedy znaleziony wcześniej \(\displaystyle{ \sum H_k}\)

[NogaWeza]

Rzeczywiście, dzięki.

\(\displaystyle{ S_n + (n+1) H_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} (k+1)\left( H_{k} + \frac{1}{k+1} \right)}\)

Prawa strona: \(\displaystyle{ P = \sum_{k=0}^{n} \left( k H_k + H_k + 1 \right)}\), a więc \(\displaystyle{ S_n + (n+1)H_{n+1} = S_n + \sum_{k=0}^{n} H_k + n + 1}\),

czyli \(\displaystyle{ \boxed{\sum_{k=0}^{n} H_k = (n+1)H_{n+1} - n - 1}}\)


Zaburzając analogicznie \(\displaystyle{ \sum k^2 H_k}\) dostajemy:

\(\displaystyle{ \boxed{ \sum_{k=0}^{n} k H_k = \frac{1}{2} n(n+1) \left( H_{n+1} - \frac{1}{2} \right) }}\)

EDIT:    

Zmiana z \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k^2 H_k}\) na \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k H_k}\), bo przecież zaburzam pierwszą sumę, dzięki czemu dostaję jawny wzór na drugą.

[Michalinho]

Pierwsze poprawnie, drugie też
Jedynie dla ścisłości, w przepisaniu wkradł się błąd: po lewej stronie równania w ostatniej linijce powinno być \(\displaystyle{ k}\) zamiast \(\displaystyle{ k^2}\)
Ale poza tym wszystko gra

[NogaWeza]

Faktycznie, już poprawiłem i opatrzyłem komentarzem. Dziękuję za pomoc