Podaj cyfrę jedności wyrażenia

[kookiez]

Podaj cyfrę jedności wyrażenia:

\(\displaystyle{ 27^{432} -13^{111}}\)

z góry dziękuję za odpowiedź.

[kerajs]

\(\displaystyle{ 27^{432}-13^{111}=\left( (3^4)^{108}\right)^3 -13 \cdot 169^{55}=
(80+1)^{324} -13 \cdot (170-1)^{55}=\\=\left( 10 \cdot X+1\right) +13 \cdot (10 \cdot Y-1))=10 \cdot (X+13Y)+1-13=10 \cdot (X+13Y-2)+8}\)

[kookiez]

Prosiła bym jeszcze o jakieś wytłumaczenie.

[kerajs]

Zastosowałem dwumian Newtona który poznałaś w szkole średniej:
\(\displaystyle{ (10x+1)^n=(10x)^n+ {n \choose 1}(10x)^{n-1}+{n \choose 2}(10x)^{n-2}+....{n \choose m-11}(10x)^{1}+1=\\=...}\)
Zauważ że wszystkie składniki sumy prócz ostatniego są wielokrotnościami liczby 10. Stąd:
\(\displaystyle{ (10x+1)^n=(10x)^n+ {n \choose 1}(10x)^{n-1}+{n \choose 2}(10x)^{n-2}+....{n \choose m-11}(10x)^{1}+1=\\=10X+1}\)
Analogicznie
\(\displaystyle{ (10x-1)^n=(10x)^n+ (-1)^1 {n \choose 1}(10x)^{n-1}+ (-1)^2{n \choose 2}(10x)^{n-2}+....+\\+ (-1)^{n-1}{n \choose m-11}(10x)^{1}+(-1)^{n} \cdot 1=10X+(-1)^{n} \cdot 1}\)

Inaczej:
Ostatnie cyfry potęg liczby 3 tworzą ciąg okresowy:
\(\displaystyle{ 3,9,7,1,3,9,7,1,3,....}\)
\(\displaystyle{ (27^{432}-13^{111}) \ mod \ 10=(3^{3 \cdot 4 \cdot 108}-13^{4 \cdot 25+1}) \ mod \ 10=\\=
3^{4 \cdot (3 \cdot 108)} \ mod \ 10-13^{4 \cdot 25+1} \ mod \ 10=(1-3) \ mod \ 10=(-2) \ mod \ 10=8}\)

Oczywiście można tę resztę znaleźć kilkoma innymi sposobami.