Urna z kulami, ile losowań należy dokonać?

[jestemmatematykiem]

W urnie znajduje się 36 kul białych i 64 czarnych. losujemy kule po jednej ze zwracanie. Ile losowań należy dokonać, aby prawdopodobieństwo tego, że częstość otrzymywania kuli białej różni się od 0,36 o co najmniej 0,12 było równe 0,1.

Bardzo proszę o podpowiedzi a najlepiej rozwiązanie, nie wiem jak się zabrać za to zadanie.

[janusz47]

Wskazówka:

Proszę skorzystać z Prawa Wielkich Liczb Bernoulliego:

\(\displaystyle{ P\left( |\frac{X_{n}}{n}- p|< \epsilon\right) \approx 2\phi\left( \epsilon\sqrt{\frac{n}{p(1-p)}}\right ) -1 , \ \ \epsilon >0.}\)

[jestemmatematykiem]

Wskazówka:

Proszę skorzystać z Prawa Wielkich Liczb Bernoulliego:

\(\displaystyle{ P\left( |\frac{X_{n}}{n}- p|< \epsilon\right) \approx 2\phi\left( \epsilon\sqrt{\frac{n}{p(1-p)}}\right ) -1 , \ \ \epsilon >0.}\)

Mogę prosić o dokładniejsze wytłumaczenie co zrobić krok po kroku? Nie ukrywam że siedzę nad tym zadaniem i wzorem który mi podałeś i nie wiem jak to ugryźć.

Pozdrawiam

[janusz47]

Dane:

\(\displaystyle{ n =100, \ \ p = 0,36, \ \ \epsilon = 0,12.}\)

Niech

\(\displaystyle{ \frac{X_{100}}{100} = \nu.}\)

Z treści zadania, Prawa Wielkich Liczb Bernoulliego (PWL) i definicji dystrybuanty:

\(\displaystyle{ P(|\nu - 0,36|\geq 0,12|) = 0,1,}\)

\(\displaystyle{ P(|\nu -0,36|< 0,12) = 1 - 0,1 = 0.9 = 2\phi \left( 0,12\sqrt{ \frac{ n}{0,36\cdot 0,64}}\right)- 1.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \phi\left( 0,12\sqrt{\frac{n}{0,36\cdot 0,64}}\right)= 0,95= \phi(1,65)}\)

Z tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub (np.) programu R:

Kod: Zaznacz cały

> Z = qnorm(0.95)
> Z
[1] 1.644854

Z równania:

\(\displaystyle{ 0,12\sqrt{\frac{n}{0,36\cdot 0,64}} \approx 1,65, \ \ n \approx 43,56.}\)

Odpowiedź: należy dokonać co najmniej \(\displaystyle{ n = 44}\) losowania.

[jestemmatematykiem]

Dane:

\(\displaystyle{ n =100, \ \ p = 0,36, \ \ \epsilon = 0,12.}\)

Niech

\(\displaystyle{ \frac{X_{100}}{100} = \nu.}\)

Z treści zadania, Prawa Wielkich Liczb Bernoulliego (PWL) i definicji dystrybuanty:

\(\displaystyle{ P(|\nu - 0,36|\geq 0,12|) = 0,1,}\)

\(\displaystyle{ P(|\nu -0,36|< 0,12) = 1 - 0,1 = 0.9 = 2\phi \left( 0,12\sqrt{ \frac{ n}{0,36\cdot 0,64}}\right)- 1.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \phi\left( 0,12\sqrt{\frac{n}{0,36\cdot 0,64}}\right)= 0,95= \phi(1,65)}\)

Z tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub (np.) programu R:

Kod: Zaznacz cały

> Z = qnorm(0.95)
> Z
[1] 1.644854

Z równania:

\(\displaystyle{ 0,12\sqrt{\frac{n}{0,36\cdot 0,64}} \approx 1,65, \ \ n \approx 43,56.}\)

Odpowiedź: należy dokonać co najmniej \(\displaystyle{ n = 44}\) losowania.

Dziękuje bardzo za pomoc, starałem się to przeanalizować i chyba wszystko powinno się zgadzać, martwi mnie jednak wynik który jest podany w książce ( 40 lub więcej losowań) więc występuje tutaj różnica 4 losowań (mimo, że w książkach zdarzają się błędy piszę z informacją ponieważ nie mogę tutaj takowych błędów popełnić).

Pozdrawiam

-- 17 wrz 2017, o 20:17 --

Piszę raz jeszcze żeby podbić temat.

Proszę o sprawdzenie rozwiązania tego zadania ze względu na inny wynik niż ten, który wyszedł użytkownikowi janusz47 oraz ten który jest podany w rozwiązaniach w książce.-- 17 wrz 2017, o 21:24 --Piszę raz jeszcze żeby podbić temat.

Proszę o sprawdzenie rozwiązania tego zadania ze względu na inny wynik niż ten, który wyszedł użytkownikowi janusz47 oraz ten który jest podany w rozwiązaniach w książce.