Mam podany ciąg
\(\displaystyle{ a_{0}=0\\
a_{1}=-5 \\
a_{n}=-3a_{n-1}+28a_{n-2}+48}\)
Probóję rozwiązać rekurencję drugiego stopnia ale tutaj pojawia się wielomian trzeciego stopnia i wychodzą mi niecałkowite miejsca zerowe i nie da się dalej liczyć. Próbowałem też wyznaczać kolejne rozwiązania dla \(\displaystyle{ a}\) z indeksem od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 4}\), ale nie mogę zgadnąc wzoru. Wie ktoś jak to ugryźć.
Z góry dziękuję.
Wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 2 sty 2017, o 15:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Elbląg
- Podziękował: 6 razy
Wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego
Ostatnio zmieniony 8 wrz 2017, o 15:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego
Powinien pojawić się wielomian charakterystyczny drugiego stopnia, który ma całkowite pierwiastki. Poza tym nie wiem w czym przeszkadzają niecałkowite.
RCH: \(\displaystyle{ r^2 + 3r - 28 = (r-4)(r+7) = 0}\). Pozostaje znaleźć szczególne rozwiązanie rekurencji niejednorodnej.
W przypadku rekurencji drugiego stopnia i wyższej ciężko zgadnąć rozwiązanie. Oczywiście możesz próbować zgadnąć, a potem potwierdzić swoją hipotezę indukcyjnie, ale do tego trzeba mieć wyczucie.
RCH: \(\displaystyle{ r^2 + 3r - 28 = (r-4)(r+7) = 0}\). Pozostaje znaleźć szczególne rozwiązanie rekurencji niejednorodnej.
W przypadku rekurencji drugiego stopnia i wyższej ciężko zgadnąć rozwiązanie. Oczywiście możesz próbować zgadnąć, a potem potwierdzić swoją hipotezę indukcyjnie, ale do tego trzeba mieć wyczucie.
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 2 sty 2017, o 15:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Elbląg
- Podziękował: 6 razy
Wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego
No rozwiązałem tą rekurencję i wyszło mi \(\displaystyle{ a_{n}=- \frac{5}{11} \cdot 4^{n} + \frac{5}{11} \cdot -7^{n}}\)
Ale to nie ten wzór :/ nie pasuje. Zgadza się tylko przy \(\displaystyle{ a_{1}}\)
Jeżeli biorę wielomian trzeciego stopnia i rozwiązuje rekurencję to miejsca zerowe wychodzą
\(\displaystyle{ x _{1} = 4.838082241}\) \(\displaystyle{ x _{2} = -1.587175599}\) \(\displaystyle{ x _{3} = -6.250906642}\)
Więc i tak i tak jest źle :/
Ale to nie ten wzór :/ nie pasuje. Zgadza się tylko przy \(\displaystyle{ a_{1}}\)
Jeżeli biorę wielomian trzeciego stopnia i rozwiązuje rekurencję to miejsca zerowe wychodzą
\(\displaystyle{ x _{1} = 4.838082241}\) \(\displaystyle{ x _{2} = -1.587175599}\) \(\displaystyle{ x _{3} = -6.250906642}\)
Więc i tak i tak jest źle :/
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego
A rozwiązałeś równanie niejednorodne? Z Twojej postaci rozwiązania wnioskuję, że do rozwiązania równania jednorodnego \(\displaystyle{ a_j (n) = C_1 4^n + C_2 (-7)^n}\) wstawiłeś tylko warunki początkowe (jeśli się mylę, to może przedstaw po kolei swoje obliczenia). Nie powinieneś tego robić dopóki nie znajdziesz rozwiązania równanie niejednorodnego, na przykład metodą przewidywania, bo jest w tym przypadku bardzo wygodna.
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 2 sty 2017, o 15:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Elbląg
- Podziękował: 6 razy
Wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego
Poproszę o pomoc w rozwiązaniu tej rekurencji jeżeli to możliwe bo ja już przy tym wymiękam. Niejednorodnej nie robiłem bo myślałem, że rekurencja niejednorodna ma we wzorze na \(\displaystyle{ a _{n}}\) stałą \(\displaystyle{ C \cdot X ^{n}}\). Dlatego myślałem, że to rekurencja jednorodna.
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego
No to chyba musisz poczytać sobie teorię. Rozwiązanie ogólne rekurencji niejednorodnej to suma:
-rozwiązania ogólnego rekurencji jendorodnej
-rozwiązania szczególnego rekurencji niejednorodnej
Mnie się nie chce przytaczać podstawowych faktów dotyczących rekurencji liniowych, od tego są podręczniki albo skrypty.
Jeśli interesuje Cię tylko wynik to polecam.
-rozwiązania ogólnego rekurencji jendorodnej
-rozwiązania szczególnego rekurencji niejednorodnej
Mnie się nie chce przytaczać podstawowych faktów dotyczących rekurencji liniowych, od tego są podręczniki albo skrypty.
Jeśli interesuje Cię tylko wynik to polecam
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=a_%7Bn%7D%3D-3a_%7Bn-1%7D%2B28a_%7Bn-2%7D%2B48,+a_%7B1%7D%3D-5,+a_%7B0%7D%3D0