Wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Ridos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 2 sty 2017, o 15:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Elbląg
Podziękował: 6 razy

Wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: Ridos »

Mam podany ciąg

\(\displaystyle{ a_{0}=0\\
a_{1}=-5 \\
a_{n}=-3a_{n-1}+28a_{n-2}+48}\)


Probóję rozwiązać rekurencję drugiego stopnia ale tutaj pojawia się wielomian trzeciego stopnia i wychodzą mi niecałkowite miejsca zerowe i nie da się dalej liczyć. Próbowałem też wyznaczać kolejne rozwiązania dla \(\displaystyle{ a}\) z indeksem od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 4}\), ale nie mogę zgadnąc wzoru. Wie ktoś jak to ugryźć.
Z góry dziękuję.
Ostatnio zmieniony 8 wrz 2017, o 15:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: NogaWeza »

Powinien pojawić się wielomian charakterystyczny drugiego stopnia, który ma całkowite pierwiastki. Poza tym nie wiem w czym przeszkadzają niecałkowite.
RCH: \(\displaystyle{ r^2 + 3r - 28 = (r-4)(r+7) = 0}\). Pozostaje znaleźć szczególne rozwiązanie rekurencji niejednorodnej.

W przypadku rekurencji drugiego stopnia i wyższej ciężko zgadnąć rozwiązanie. Oczywiście możesz próbować zgadnąć, a potem potwierdzić swoją hipotezę indukcyjnie, ale do tego trzeba mieć wyczucie.
Ridos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 2 sty 2017, o 15:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Elbląg
Podziękował: 6 razy

Wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: Ridos »

No rozwiązałem tą rekurencję i wyszło mi \(\displaystyle{ a_{n}=- \frac{5}{11} \cdot 4^{n} + \frac{5}{11} \cdot -7^{n}}\)

Ale to nie ten wzór :/ nie pasuje. Zgadza się tylko przy \(\displaystyle{ a_{1}}\)

Jeżeli biorę wielomian trzeciego stopnia i rozwiązuje rekurencję to miejsca zerowe wychodzą
\(\displaystyle{ x _{1} = 4.838082241}\) \(\displaystyle{ x _{2} = -1.587175599}\) \(\displaystyle{ x _{3} = -6.250906642}\)

Więc i tak i tak jest źle :/
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: NogaWeza »

A rozwiązałeś równanie niejednorodne? Z Twojej postaci rozwiązania wnioskuję, że do rozwiązania równania jednorodnego \(\displaystyle{ a_j (n) = C_1 4^n + C_2 (-7)^n}\) wstawiłeś tylko warunki początkowe (jeśli się mylę, to może przedstaw po kolei swoje obliczenia). Nie powinieneś tego robić dopóki nie znajdziesz rozwiązania równanie niejednorodnego, na przykład metodą przewidywania, bo jest w tym przypadku bardzo wygodna.
Ridos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 2 sty 2017, o 15:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Elbląg
Podziękował: 6 razy

Wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: Ridos »

Poproszę o pomoc w rozwiązaniu tej rekurencji jeżeli to możliwe bo ja już przy tym wymiękam. Niejednorodnej nie robiłem bo myślałem, że rekurencja niejednorodna ma we wzorze na \(\displaystyle{ a _{n}}\) stałą \(\displaystyle{ C \cdot X ^{n}}\). Dlatego myślałem, że to rekurencja jednorodna.
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego

Post autor: NogaWeza »

No to chyba musisz poczytać sobie teorię. Rozwiązanie ogólne rekurencji niejednorodnej to suma:
-rozwiązania ogólnego rekurencji jendorodnej
-rozwiązania szczególnego rekurencji niejednorodnej

Mnie się nie chce przytaczać podstawowych faktów dotyczących rekurencji liniowych, od tego są podręczniki albo skrypty.

Jeśli interesuje Cię tylko wynik to polecam

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=a_%7Bn%7D%3D-3a_%7Bn-1%7D%2B28a_%7Bn-2%7D%2B48,+a_%7B1%7D%3D-5,+a_%7B0%7D%3D0
.
ODPOWIEDZ