Permutacje wyrazu PATAGONIA

[ferfeton]

Ile jest możliwych wyrazów ułożonych ze słowa PATAGONIA, tak żeby takie same litery nigdy nie stały koło siebie?

Wszystkich możliwości będzie \(\displaystyle{ \frac{9!}{3!}}\).
Następnie mamy dwa przypadki:
1) _ _ _ A A _ _ _ A Czy tutaj dobrze myślę, że losujemy spośród \(\displaystyle{ 8}\) miejsc 1 dla (AA) i z \(\displaystyle{ 7}\) miejsc jedno dla (A), a pozostałe na \(\displaystyle{ 6!}\) ?
2) A A A_ _ _ _ _ _

Czy ktoś może pomóc ile będzie z poszczególnych przypadków?

[kerajs]

2)
\(\displaystyle{ 7!}\)
1)
\(\displaystyle{ 8!-7!-7!}\)

Inaczej
\(\displaystyle{ il=6! \cdot {7 \choose 3}}\)

[loitzl9006]

W ramach przypadku 1)
tzn. _ _ _ A A _ _ _ A
niestety nie można wylosować jednego z \(\displaystyle{ 7}\) miejsc jedno dla (A)
dlatego że mając przykładowo wybrane miejsce dla (AA)
_ _ _ A A _ _ _ _
to miejsce dla (A) masz szansę wybrać tak:
_ _ _ A A A _ _ _
i to będzie już przypadek 2)

Proponuję zrobić tak:
1.1) _ _ _ A A _ _ _ A
żeby (AA) nie było na samym początku ani na samym końcu, to możesz wybrać miejsce na \(\displaystyle{ 6}\) sposobów:
_ A A _ _ _ _ _ _
_ _ A A _ _ _ _ _
_ _ _ A A _ _ _ _
_ _ _ _ A A _ _ _
_ _ _ _ _ A A _ _
_ _ _ _ _ _ A A _
miejsce dla (A) wybierasz na \(\displaystyle{ 5}\) sposobów (nie może sąsiadować z (AA)), i pozostałe na \(\displaystyle{ 6!}\) sposobów.

1.2)
(AA) będzie na samym początku lub na samym końcu więc (AA) na \(\displaystyle{ 2}\) sposoby.
A A _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ A A
wówczas (A) na \(\displaystyle{ 6}\) sposobów (nie może sąsiadować z (AA)), pozostałe na \(\displaystyle{ 6!}\).

2)
A A A _ _ _ _ _ _
(AAA) na \(\displaystyle{ 7}\) sposobów, pozostałe na \(\displaystyle{ 6!}\).

i dalej wiadomo; od wszystkich możliwości \(\displaystyle{ \frac{9!}{3!}}\) odejmujesz 1.1), 1.2) i 2)

[ferfeton]

Rzeczywiście Twoje rozwiązanie wydaje się logiczne. Tak też myślałem, ale nie byłem pewien czy rozbijać to jeszcze na przypadki gdy AA stoją na końcu i na początku.
Dzięki!