Ile rozwiązań ma równanie

[ferfeton]

Witam,

mam poniższe równanie do rozwiązania. Mianowicie pytanie brzmi ile jest rozwiązań tego równania
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=k,}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_{1}+x_{3} \ge 3}\)

Gdyby nie ten warunek poradziłbym sobie metodą szufladkową, albo podstawieniem drugiego równania.Nie wiem jednak jak ugryźć ten warunek.

[kerajs]

Przy tej treści zadania masz nieskończenie wiele rozwiązań, Przypuszczam że brakuje dodatkowych ograniczeń, np : że szukasz rozwiązań w liczbach naturalnych albo w całkowitych dodatnich itp..

[ferfeton]

Oczywiście zapomniałem: \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in N}\)

[kerajs]

A zero jest, czy nie jest tutaj naturalne?
Liczba \(\displaystyle{ k}\) pewnie też naturalna i większa od \(\displaystyle{ 5}\) (lub \(\displaystyle{ 2}\)), bo dla innych \(\displaystyle{ k}\) równanie nie ma rozwiązania.

Załóżmy że zero nie jest naturalne, a \(\displaystyle{ k}\) jest naturalne nie mniejsze od \(\displaystyle{ 5}\).
Ilość rozwiązań= (ilość rozwiązań równania \(\displaystyle{ \blue x_1+x_2+x_3+x_4=k}\)) minus (ilość rozwiązań równania \(\displaystyle{ \blue 1+x_2+1+x_4=k}\)).

Dla zera naturalnego trzeba będzie od ilości rozwiązań równania \(\displaystyle{ \blue x_1+x_2+x_3+x_4=k}\) odjąć ilość rozwiązań równań:
\(\displaystyle{ \blue 0+x_2+0+x_4=k \\
\blue 0+x_2+1+x_4=k \\
\blue 0+x_2+2+x_4=k \\
\blue 1+x_2+0+x_4=k \\
\blue 1+x_2+1+x_4=k \\
\blue 2+x_2+0+x_4=k}\)

[ferfeton]

Zero akurat jest naturalne aczkolwiek to najmniejszy problem.
Czy przypadkiem nie zrobiłeś tego dla \(\displaystyle{ x_{1} +x _{3} \le 3}\)?-- 7 wrz 2017, o 19:20 --Czy wynik \(\displaystyle{ {k-1 \choose 2}}\) jest poprawny? Tak mi wyszło jeżeli za x podstawiłem y a na prawą stronę przeniosłem 3 \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) k-3 i z zasady szufladkowania \(\displaystyle{ {k-3+3-1 \choose 3-1}}\)

[kerajs]

Czy przypadkiem nie zrobiłeś tego dla \(\displaystyle{ x_{1} +x _{3} \le 3}\)?

NIe

Czy wynik \(\displaystyle{ {k-1 \choose 2}}\) jest poprawny?

Mi wychodzi:
\(\displaystyle{ {k+3 \choose 3}- {k+1 \choose 1} -2 {k \choose 1} -3 {k-1 \choose 1}}\)

Tak mi wyszło jeżeli za x podstawiłem y

\(\displaystyle{ x}\) nie występuje w Twoim równaniu, więc nie wiem o czym piszesz.

[ferfeton]

Dzięki, rzeczywiście masz rację. Już wszystko jasne