Znowu! znajdź wzór jawny używając funkcji tworzących.

[Jajecznica]

Nie mogę dojść z tym do ładu, co zadanie nie wychodzi mi zgodnie z odpowiedzią.


1) \(\displaystyle{ a_n=-a_{n-1}+2a_{n-2}}\)
\(\displaystyle{ n \ge 2}\),
\(\displaystyle{ a_0=1}\), \(\displaystyle{ a_1=2}\)

2) jakie jest rozwinięcie w szereg wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^3}}\)


1. wymnażam przez \(\displaystyle{ x^n}\) i sumuję po \(\displaystyle{ n}\) oraz przyjmuję \(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } a_nx^n}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }a_nx^n=-\sum_{n=2}^{ \infty } a_{n-1}x^n+\sum_{n=2}^{ \infty } 2a_{n-2}x^n}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n-a_0-xa_1=-x ( \sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n-a_0)+2x^2 \sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n}\)

\(\displaystyle{ f(x)-1-2x=-xf(x)+x+2x^2f(x)}\)

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{3x+1}{1+x-2x^2}= \frac{ \frac{1}{3} }{1-x} + \frac{ -\frac{1}{3} }{1-(-2x)}}\) rozwijam w szereg

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{ \infty }x^n- \frac{1}{3}\sum_{n=0}^{ \infty }(-2)^nx^n}\)

z czego otrzymuję :
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}(1-(-2)^n)}\)

zamiast:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}\left[ \left( -1\right)^{n+1} + 2^n \right]}\)

[Premislav]

Do tego miejsca:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{3x+1}{1+x-2x^2}}\)

jest dobrze, a potem niepoprawnie rozkładasz na ułamki proste. Poćwicz.

\(\displaystyle{ \frac{3x+1}{1+x-2x^2}
= \frac{\frac 4 3}{1-x} + \frac{-\frac 1 3}{1+2x}}\)-- 5 wrz 2017, o 00:34 --A ta niby "poprawna" odpowiedź wygląda na niezłą bzdurę, tak swoją drogą. Dla \(\displaystyle{ n=0}\) wychodzi zero, a nie jedynka, jak moglibyśmy się spodziewać. Powinno być
\(\displaystyle{ a_n=\frac 4 3-\frac 1 3(-2)^n}\)

[Mariusz M]

2

Tutaj mamy do dyspozycji

Różniczkowanie szeregu geometrycznego
Dwumian Newtona
Mnożenie szeregów
Zabawa z dzieleniem pisemnym i odgadnięcie wzoru ogólnego