Z ilu różnych jednomianów składa się wielomian

[Filon11]

Kompletnie nie wiem, jak zabrać się do poniższego zadania, może ktoś pomoże:

Z ilu różnych jednomianów składa się wielomian \(\displaystyle{ ( x_{1} +...+ x_{n})^{p} , p \in N}\) ?

[szw1710]

33738.htm

[Filon11]

Dzięki, ale chyba chodzi o jakieś inne rozwiązanie, bo zdanie to pojawiło się w moim przypadku na rachunku prawdpodobieństwa. No i nie mieliśmy tego wzoru.

[Takahashi]

"No i nie mieliśmy tego wzoru" jest dobrym wyjaśnieniem najpóźniej w liceum, nie na studiach. Zresztą to naprawdę żaden problem, bo w niektórych miejscach kombinatorykę (matematykę dyskretną), rachunek prawdopodobieństwa czy statystykę prowadzi się jednocześnie.

[Filon11]

"No i nie mieliśmy tego wzoru" jest dobrym wyjaśnieniem najpóźniej w liceum, nie na studiach..

I po co ta złośliwość? Miałem na myśli to, że skoro nie mieliśmy tego wzoru, to być możemy nie powinniśmy z niego bezmyślnie korzystać, tylko policzyć to w jakiś inny sposób...

Zresztą to naprawdę żaden problem, bo w niektórych miejscach kombinatorykę (matematykę dyskretną), rachunek prawdopodobieństwa czy statystykę prowadzi się jednocześnie

U nas nie.

[szw1710]

Nieważne słowa... moja wskazówka wynikła stąd, że gdzieś widziałem uogólniony wzór sumacyjny Newtona i go sobie znalazłem. Jeśli tak nie chcesz, spróbuj analizować inaczej. Mamy zwykły wzór dwumianowy Newtona na \(\displaystyle{ (x+y)^p}\) i tam jest suma \(\displaystyle{ p+1}\) składników. Przechodzimy na trzy składniki:

\(\displaystyle{ (x+y+z)^p=\bigl((x+y)+z\bigr)^p}\)
Rozwijasz to tak jak napisałem i liczysz składniki. I już. Proponuję więc podejście indukcyjne. Jeśli suma \(\displaystyle{ n}\) składników ma ileś jednomianów, łatwo jest określić, ile ich będzie dla sumy \(\displaystyle{ n+1}\) składników.