Znajdź wzór jawny używając funkcji tworzących, gdzie błąd?

[Jajecznica]

Cześć, rozwiązuję całkiem proste zadanko ale gubię gdzieś po drodze \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
wychodzi mi \(\displaystyle{ 3^n+(-1)^n}\) a powinno być \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( 3^n+(-1)^n\right)}\)

Treść:
Znajdź wzór jawny na \(\displaystyle{ a_{n}}\) za pomocą funkcji tworzących. Enty wyraz ciągu wyrażony rekurencyjnie:
\(\displaystyle{ a_n=2a_{n-1}+3a_{n-2}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) oraz \(\displaystyle{ a_0=1, a_1=1}\)

Po kolei:

mnożę obustronnie przez \(\displaystyle{ x^n}\) i sumuję po \(\displaystyle{ n \ge 2}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }a_nx^n=2\sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-1}x^n+3\sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-2}x^n}\)

Z tego mam:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n - a_0-a_1 = 2x( \sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n-a_0)+3x^2\sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n}\)

ponieważ \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n}\) to:

\(\displaystyle{ f(x) - 1-1 = 2x( f(x)-1)+3x^2f(x)}\)

\(\displaystyle{ f(x) -2f(x)-3x^2f(x)=2-2x}\)

\(\displaystyle{ f(x)(1-2x-3x^2)=2-2x}\)

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{2-2x}{1-2x-3x^2} = \frac{2-2x}{(1+x)(1-3x)}= \frac{1}{1-3x} + \frac{1}{1-(-x)}}\)

Rozwijam w szereg:

\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }(3x)^n+\sum_{n=0}^{ \infty }(-x)^n}\)

Dlatego wychodzi mi : \(\displaystyle{ 3^n+(-1)^n}\) co jest błędnym rozwiązaniem.

[Premislav]

Błąd jest w tej linijce:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n - a_0-a_1 = 2x( \sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n-a_0)+3x^2\sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n}\)

Powinno być:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n - a_0-a_1 {\red x}= 2x( \sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n-a_0)+3x^2\sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n}\)