Funkcja tworząca

[Vandermonde]

Rozwiąż następujące równanie:

\(\displaystyle{ a_{n} = 4( a_{n-1} - a_{n-2} ) + 2^{n+1}}\)
\(\displaystyle{ a_{0} = 1}\)
\(\displaystyle{ a_{1} = 4}\)

[Premislav]

A czy mógłbym spytać o samopoczucie Twojej macierzy? xDDDDDDD
\(\displaystyle{ a_{n} = 4( a_{n-1} - a_{n-2} ) + 2^{n+1}\\a_{n+2}=4(a_{n+1}-a_n)+2^{n+3}\\ \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n+2}x^n=4 \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}x^n-4 \sum_{n=0}^{ \infty }a_n x^n+8 \sum_{n=0}^{ \infty }(2x)^n \bigg|\cdot x^2\\\sum_{n=0}^{ \infty } a_{n+2}x^{n+2}=4x \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}x^{n+1}-4x^2 \sum_{n=0}^{ \infty }a_n x^{n}+8x^2\sum_{n=0}^{ \infty }(2x)^n\\G(x)-a_0-a_1 x=4x(G(x)-a_0)-4x^2 G(x)+ \frac{8x^2}{1-2x}\\ G(x)-1-4x=4x(G(x)-1)-4x^2G(x)+ \frac{8x^2}{1-2x}\\G(x)= \frac{8x^2-2x+1}{(1-2x)^3}}\)
i teraz można by się pokusić o skorzystanie z czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}= \sum_{n=0}^{ \infty }x^n, \ |x|<1}\)
różniczkując to stronami \(\displaystyle{ k}\) razy mamy
\(\displaystyle{ \frac{k!}{(1-x)^{k+1}}= \sum_{n=k}^{ \infty } n(n-1)\ldots(n-k+1)x^{n-k}= \sum_{n=k}^{ \infty }k!{n \choose k}x^{n-k}=\\= \sum_{n=0}^{ \infty }k!{n+k \choose k}x^n, \ |x|<1}\)
i podobnie dla \(\displaystyle{ \frac{k!}{(1-ax)^{k+1}}}\) gdy \(\displaystyle{ a\neq 0, |x|<\frac{1}{|a|}}\)

Czyli np. w szczególności
\(\displaystyle{ \frac{2!}{(1-2x)^3}= \sum_{n=0}^{ \infty }2!{n+2 \choose 2}(2x)^n}\) dla \(\displaystyle{ |x|<\frac 1 2}\)
Dalej powinieneś sobie poradzić.

[Vandermonde]

Dzięki. U macierzy wszystko w porządku, wyznaczniki też zdrowe.