Zwarta postać sumy

[splinter]

Mam problem z dwoma przykładami z dyskretnej:

a)

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)(i+3)}}\)

b)

\(\displaystyle{ \sum_{ i_{1}=0 }^{n} \sum_{ i_{2} }^{ i_{1} }... \sum_{ i_{k}=0 }^{ i_{k-1} }1}\)

[Premislav]

a) Mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{i(i+1)(i+3)}= \frac{i+1-i}{i(i+1)(i+3)} = \frac{1}{i(i+3)}- \frac{1}{(i+1)(i+3)}=\\= \frac{1}{3} \cdot \frac{i+3-i}{i(i+3)}-\frac 1 2 \frac{i+3-(i+1)}{(i+1)(i+3)}=\\= \frac{1}{3} \cdot \frac 1 i -\frac 1 3\cdot \frac{1}{i+3}-\frac 1 2 \cdot \frac{1}{i+1}+\frac 1 2\cdot \frac{1}{i+3}=\\=\frac{1}{3}\cdot \frac 1 i -\frac 1 2\cdot \frac{1}{i+1}+\frac 1 6\cdot \frac{1}{i+3}}\)
Więc:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)(i+3)}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{3}\cdot \frac 1 i -\frac 1 2\cdot \frac{1}{i+1}+\frac 1 6\cdot \frac{1}{i+3} \right) =\\=\frac 1 3 H_n-\frac 1 2\left( H_{n+1}-1\right)+\frac{1}{6}\left( H_{n+3}-1-\frac 1 2-\frac 1 3\right)=\\=\ldots}\)
gdzie \(\displaystyle{ H_n= \sum_{i=1}^{n} \frac 1 i}\).
Dużo rzeczy się skróci, bo
\(\displaystyle{ H_{n+1}=H_n+\frac{1}{n+1}, \ H_{n+3}=H_n+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}}\)

-- 29 sie 2017, o 12:52 --

Ogólnie w takich zadaniach jak to a) przydaje się rozkład na ułamki proste.