Skarbonki i klucze
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 19 lut 2016, o 16:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Borusławice
- Podziękował: 13 razy
Skarbonki i klucze
Mam do zrobienia takie oto zadanie z kombinatoryki:
Mamy \(\displaystyle{ n}\) skarbonek i \(\displaystyle{ n}\) kluczy, przy czym każdy klucz pasuje do dokładnie jednej skarbonki. Wrzucamy losowo po jednym kluczu do każdej skarbonki, po czym rozbijamy \(\displaystyle{ k}\) skarbonek, \(\displaystyle{ 1 \le k \le n}\). Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dzięki temu będzie można otworzyć wszystkie pozostałe skarbonki.
Mamy \(\displaystyle{ n}\) skarbonek i \(\displaystyle{ n}\) kluczy, przy czym każdy klucz pasuje do dokładnie jednej skarbonki. Wrzucamy losowo po jednym kluczu do każdej skarbonki, po czym rozbijamy \(\displaystyle{ k}\) skarbonek, \(\displaystyle{ 1 \le k \le n}\). Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dzięki temu będzie można otworzyć wszystkie pozostałe skarbonki.
-
- Użytkownik
- Posty: 1114
- Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 157 razy
Re: Skarbonki i klucze
Patrz tutaj:
Przed zadaniem pytania warto użyć Google, wpisując hasło zarówno po polsku jak i po angielsku.
Kod: Zaznacz cały
https://math.stackexchange.com/questions/320485/probability-of-opening-all-piggy-banks
Przed zadaniem pytania warto użyć Google, wpisując hasło zarówno po polsku jak i po angielsku.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Skarbonki i klucze
Doświadczenie losowe polega na:
- losowym wrzuceniu po jednym z \(\displaystyle{ n}\) kluczy do każdej z \(\displaystyle{ n}\) skarbonek;
- losowym rozbiciu \(\displaystyle{ k , \ \ 1 \leq k \leq n}\) spośród \(\displaystyle{ n}\) skarbonek.
Model doświadczenia:
\(\displaystyle{ ( \Omega, F, P ):}\)
\(\displaystyle{ \Omega = \left\{ \omega= (1,2,...n)\rightarrow (i_{1}, i_{2}...,i_{n}),i_{1},i_{2},...,i_{n} \in \left \{1,2,...,n\right\} \right\},}\)
\(\displaystyle{ F = 2^{\Omega}}\)
\(\displaystyle{ P(\omega_{i})= \frac{1}{n!},\ \ i=1, 2,...,n}\) (1)
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie "po rozbiciu \(\displaystyle{ k}\) skarbonek będzie można otworzyć wszystkie pozostałe skarbonki ".
\(\displaystyle{ |A| = S(n, k).}\)
\(\displaystyle{ S(n,k) -}\) liczba permutacji \(\displaystyle{ n}\) - elementowych o dokładnie \(\displaystyle{ k, \ \ 1\leq k \leq n}\) cyklach ( liczba Stirlinga II rodzaju)
Z zależności rekurencyjnych dla liczb Stirlinga
\(\displaystyle{ S(k,k) = k!}\)
\(\displaystyle{ S(n+1, k) = nS(n,k)}\)
\(\displaystyle{ S(n, k) = k!k (k+1)...(n-1)= k (n-1)!}\)
oraz (1), otrzymujemy
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}= \frac{S(n,k)}{n!} = \frac{k(n-1)!}{n!} = \frac{k}{n}.}\)
Interpretacja otrzymanego wyniku.
Realizując doświadczenie losowe należy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ \frac{k}{n}\cdot 100\%}\) ogólnej liczbie wyników - po rozbiciu \(\displaystyle{ k}\) skarbonek będzie można otworzyć wszystkie pozostałe.
- losowym wrzuceniu po jednym z \(\displaystyle{ n}\) kluczy do każdej z \(\displaystyle{ n}\) skarbonek;
- losowym rozbiciu \(\displaystyle{ k , \ \ 1 \leq k \leq n}\) spośród \(\displaystyle{ n}\) skarbonek.
Model doświadczenia:
\(\displaystyle{ ( \Omega, F, P ):}\)
\(\displaystyle{ \Omega = \left\{ \omega= (1,2,...n)\rightarrow (i_{1}, i_{2}...,i_{n}),i_{1},i_{2},...,i_{n} \in \left \{1,2,...,n\right\} \right\},}\)
\(\displaystyle{ F = 2^{\Omega}}\)
\(\displaystyle{ P(\omega_{i})= \frac{1}{n!},\ \ i=1, 2,...,n}\) (1)
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie "po rozbiciu \(\displaystyle{ k}\) skarbonek będzie można otworzyć wszystkie pozostałe skarbonki ".
\(\displaystyle{ |A| = S(n, k).}\)
\(\displaystyle{ S(n,k) -}\) liczba permutacji \(\displaystyle{ n}\) - elementowych o dokładnie \(\displaystyle{ k, \ \ 1\leq k \leq n}\) cyklach ( liczba Stirlinga II rodzaju)
Z zależności rekurencyjnych dla liczb Stirlinga
\(\displaystyle{ S(k,k) = k!}\)
\(\displaystyle{ S(n+1, k) = nS(n,k)}\)
\(\displaystyle{ S(n, k) = k!k (k+1)...(n-1)= k (n-1)!}\)
oraz (1), otrzymujemy
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}= \frac{S(n,k)}{n!} = \frac{k(n-1)!}{n!} = \frac{k}{n}.}\)
Interpretacja otrzymanego wyniku.
Realizując doświadczenie losowe należy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ \frac{k}{n}\cdot 100\%}\) ogólnej liczbie wyników - po rozbiciu \(\displaystyle{ k}\) skarbonek będzie można otworzyć wszystkie pozostałe.
-
- Użytkownik
- Posty: 1114
- Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 157 razy
Skarbonki i klucze
To są liczby Stirlinga I, a nie II rodzaju.janusz47 pisze: \(\displaystyle{ S(n,k) -}\) liczba permutacji \(\displaystyle{ n}\) - elementowych o dokładnie \(\displaystyle{ k, \ \ 1\leq k \leq n}\) cyklach ( liczba Stirlinga II rodzaju)
Powyższe rozwiązanie jest całkowicie błędne. Zależności rekurencyjne są niepoprawne.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Skarbonki i klucze
Panie Mruczek proszę przedstawić swoje rozwiązanie, a nie odsyłać do forum Stackexchange czy Google i zapoznać się z literaturą np:
Geoffrey Grimmett, David Stirzaker One Thousand Exercises in Probability. pp. 17. Oxford University Press 2001.
Geoffrey Grimmett, David Stirzaker One Thousand Exercises in Probability. pp. 17. Oxford University Press 2001.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Skarbonki i klucze
Przy \(\displaystyle{ n=5}\) i \(\displaystyle{ k=1}\) trudno oczekiwać, że jednym kluczem da się otworzyć pozostałe cztery skarbonkijanusz47 pisze:
Realizując doświadczenie losowe należy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ \frac{k}{n}\cdot 100\%}\) ogólnej liczbie wyników - po rozbiciu \(\displaystyle{ k}\) skarbonek będzie można otworzyć wszystkie pozostałe.