Rzut n krotnie kostką do gry

[thor90]

Witam,
Mam problem z następującym zadaniem:
Rzucamy n krotnie kostką do gry. Serią nazywamy wypadnięcie co najmniej 3 razy pod rząd tego samego wyniku. Niech bn oznacza liczbę tych wyrazów, które nie zawierają serii. Znajdź i uzasadnij wzór rekurencyjny ciągu.

Kompletnie nie wiem jak się za to zabrać, proszę o wytłumaczenie krok po kroku co i jak.
Z góry bardzo dziękuje za pomoc.

[Premislav]

Tutaj rozwiązałem to zadanie:
422980.htm#p5500446
(niewykluczone, że można prościej)
Jak czegoś nie rozumiesz, to pisz.

[thor90]

Kurcze, pogubiłem się już na samym początku. Czy wzór \(\displaystyle{ b_{n+1}=2(b_n-x_n)+x_n}\), a dokładniej \(\displaystyle{ 2(b_n-x_n)}\) tyczy się tego, że mamy dwie możliwości (orzeł, reszka) do wyboru, czy to, że rzut kończy się dwa razy orzeł lub dwa razy reszka?

[Premislav]

To pierwsze, dwie możliwości (orzeł bądź reszka) w \(\displaystyle{ n+1}\). rzucie.
Jeżeli w rzutach o numerach \(\displaystyle{ n-1}\) i \(\displaystyle{ n}\) nie wypadły ani dwie reszki, ani dwa orły (takich rzutów jest \(\displaystyle{ b_n-x_n}\) - od \(\displaystyle{ b_n}\), czyli liczby ciągów \(\displaystyle{ n}\) rzutów bez serii, odejmujemy \(\displaystyle{ x_n}\) - czyli liczbę ciągów n rzutów bez serii kończących się dwoma takimi samymi wynikami), to w \(\displaystyle{ n+1}\). rzucie czy wypadnie orzeł, czy reszka i tak dalej nie będzie serii (trzech takich samych wyników z rzędu).

[thor90]

Wracając teraz do mojego przykładu z kostką to będzie \(\displaystyle{ b_{n+1}=6(b_n-x_n)+x_n}\) bo mamy 6 możliwości w \(\displaystyle{ n+1}\)rzucie i \(\displaystyle{ x_{n+1}=b_n-x_n}\) czyli liczbę wyników w \(\displaystyle{ n+1}\) rzucie, które nie kończą się takimi samymi wynikami cząstkowymi. Dobrze myślę czy nie?

[Premislav]

Nie do końca, trochę dobrze kombinujesz, ale będzie odrobinę inaczej (w ogóle order za czytanie ze zrozumieniem dla mnie, bo nie zauważyłem, że tu masz kostkę, tak bardzo mi się skojarzyło z tamtym zadaniem). \(\displaystyle{ b_{n+1}=6(b_n-x_n)+5x_n}\), bo jeżeli seria \(\displaystyle{ n}\) rzutów sześcienną kostką nie kończyła się dwoma takimi samymi wynikami, to w \(\displaystyle{ n+1}\). rzucie może wypaść cokolwiek i dalej nie będzie serii (stąd mnożymy przez \(\displaystyle{ 6}\)), natomiast jeżeli dwa ostatnie wyniki rzutów (te o numerach \(\displaystyle{ n-1}\) i \(\displaystyle{ n}\)) były takie same (oznaczyliśmy, że jest \(\displaystyle{ x_n}\) takich), to w \(\displaystyle{ n+1}\). rzucie by nie było serii musi wypaść coś innego niż to, co wypadło w dwóch ostatnich rzutach, mamy \(\displaystyle{ 6-1=5}\)takich możliwości dla każdego ustalonego "zakończenia" (np. w \(\displaystyle{ n-1.}\) i \(\displaystyle{ n.}\) rzucie była szóstka, to w \(\displaystyle{ n+1}\) chcemy cokolwiek oprócz szóstki, czyli jedynkę, dwójkę, trójkę, czwórkę lub piątkę).
Natomiast zostaje bez zmian \(\displaystyle{ x_{n+1}=b_n-x_n}\) (chyba logiczne, jak przeczytasz uzasadnienie do tamtego przypadku). Podsumowując, masz taki układzik:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b_{n+1}=6(b_n-x_n)+5x_n \\b_{n+1}=b_n-x_n \end{cases}}\)
i teraz rozwiąż go podobnie jak tam zaproponowałem.