Postać zwarta sumy

[splinter]

Mam do uproszczenia dwie sumy:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}{n\choose k}{k\choose j}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{m}(-1)^{k} {n \choose k} {n \choose m-k}}\)

[Janusz Tracz]

1:    

Z symbolu Newtona można zapisać że

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}{n\choose k}{k\choose j}=\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}{n\choose k} \cdot \frac{k(k-1)(k-2)...(k-j+1)}{j!}}\)

Ponieważ suma nie zależy od \(\displaystyle{ j}\) można zapisać że

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}{n\choose k}{k\choose j}= \frac{1}{j!} \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}{n\choose k} \cdot k(k-1)(k-2)...(k-j+1)}\)

Z wzoru Newtona wiadomo że

\(\displaystyle{ \left( 1-x\right)^n= \sum_{k=0}^{n}\left( -1\right)^k {n \choose k} x^k}\)
Różniczkując stronami \(\displaystyle{ j}\) razy i podstawiając \(\displaystyle{ x=1}\) dostaniemy prawie ten wzór.

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}^j }{ \mbox{d}x ^j}\left( \left( 1-x\right)^n\right)= \sum_{k=0}^{n}\left( -1\right)^k {n \choose k}k(k-1)(k-2)...(k-j+1)x^{k-j}}\)

Więc o ile dobrze liczę

\(\displaystyle{ \frac{1}{j!} \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}{n\choose k} \cdot k(k-1)(k-2)...(k-j+1)= \frac{1}{j!} \cdot \frac{ \mbox{d}^j }{ \mbox{d}x ^j}\left( \left( 1-x\right)^n\right)\Bigg|_{x=1}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}{n\choose k}{k\choose j}= \frac{1}{j!} \cdot \frac{ \mbox{d}^j }{ \mbox{d}x ^j}\left( \left( 1-x\right)^n\right)\Bigg|_{x=1}=0 \ \left( \forall j<k<n\right)}\)

-- 26 sie 2017, o 15:46 --

Co do podpunktu 2 to pomocne może być

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde%27s_identity

a może nawet

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Rothe%E2%80%93Hagen_identity

choć bardziej prawdopodobne jest że można to zrobić prosto tylko ja tego nie umiem.