Znajdź wzór jawny używając funkcji tworzących.

[Jajecznica]

Znajdź wzór jawny na \(\displaystyle{ a_{n}}\) za pomocą funkcji tworzących.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=25 \\ a_{n}=3 a_{n-1}+14n-49 \end{cases}}\)
dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\)

Wstęp:

Postać funkcji tworzącej : \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0 }^{ \infty } a_{n} \cdot x^{n}}\)

\(\displaystyle{ f(x)= a_{0}+a_{1} \cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+...+ a_{n}\cdotc x^{n}}\)

Zaczynam:

\(\displaystyle{ f(x)=25+(3a _{o}-35)x+(3 a_{1}-21)x^{2}+...+(3a _{n-1}+14n-49)x ^{n}}\)

uporządkowałem:

\(\displaystyle{ f(x)=25-35x-21x^{2}+...+(14n-49)x^{n}+3x(a _{0}+a_{1}x+...+a_{n}x ^{n-1})}\)

Drugi człon przypomina \(\displaystyle{ 3x \cdot f(x)}\)


Pierwszy człon to \(\displaystyle{ (25-35x-21x^{2}+....)}\) i co dalej? o ile to dobry kierunek

[bartek118]

\(\displaystyle{ f(x)= a_{0}+a_{1} \cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+...+ a_{n}\cdotc x^{n}}\)

Tak nie za bardzo, bo jest to nieskończony szereg. Równość
\(\displaystyle{ a_{n}=3 a_{n-1}+14n-49}\)
mnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ x^n}\) i sumujemy po \(\displaystyle{ n \geq 1}\). Czyli
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n x^n = 3 \sum_{n=1}^\infty a_{n-1} x^n + 14 \sum_{n=1}^\infty n x^n - 49\sum_{n=1}^\infty x^n}\)
Oznaczmy funkcję tworzącą przez
\(\displaystyle{ f(n) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n.}\)
Przekształcamy otrzymaną równość
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n - a_0 = 3 \sum_{n=0}^\infty a_{n} x^{n+1} + 14 \sum_{n=1}^\infty n x^n - 49\sum_{n=1}^\infty x^n \\
f(x) - a_0 = 3 x f(x) + 14 \sum_{n=1}^\infty n x^n - 49\sum_{n=1}^\infty x^n}\)
Spróbuj dokończyć rachunki samodzielnie - po prawej oblicz poszczególne sumy, a następnie wyznacz \(\displaystyle{ f(x)}\).

[Jajecznica]

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n}\) to to samo co \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+1}}\) dlatego że w sumowanym ciągu n i tak dązy do \(\displaystyle{ \infty}\)??

Nie do końca wiem jak może wyglądać odpowiedź do tego.

Dla \(\displaystyle{ \left| x\right|<1}\)
\(\displaystyle{ f(n)= \frac{25+ \frac{14n-49}{1-n} }{1-3x}}\)

W innym przypadku suma takich ciągów dąży do nieskończoności.

Nie podoba mi się to bardzo.

[bartek118]

Nie. Mamy
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n x^n = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n - a_0 = f(x) - a_0}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_{n-1} x^n = \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+1} = x f(x).}\)

To nie są szeregi z analizy matematycznej; to są szeregi formalne i na nich operujemy; nie dbamy tu w ogóle o zbieżność - wszystkie operacje wykonywane są w pierścieniu szeregów formalnych.

Mamy
\(\displaystyle{ f(x) - a_0 = 3 x f(x) + 14 \sum_{n=1}^\infty n x^n - 49\sum_{n=1}^\infty x^n \\
f(x) - 25 = 3 x f(x) + 14 \sum_{n=1}^\infty n x^n - 49\sum_{n=1}^\infty x^n}\)
Teraz mamy następujące sumy
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^n = \sum_{n=0}^\infty x^n - 1 = \frac{1}{1-x} - 1 = \frac{x}{1-x}.}\)
Podstawiamy
\(\displaystyle{ f(x) - 25 = 3 x f(x) + 14 \frac{x}{(1-x)^2} - 49\frac{x}{1-x}}\)
Teraz wyznacz \(\displaystyle{ f(x)}\).

[Jajecznica]

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{25+ \frac{14x}{(1-x)^{2}}- \frac{49x}{1-x} }{1-3x}}\)


Tylko nie rozumiem co się stało z n i całą tą sumą \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}}\).

Tutaj został zastosowany wzór na sumę szeregów \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty x^{n+1} = \frac{x}{(1-x)^2}}\) Rozumiem, że wtedy pierwszy wyraz tego szeregu to \(\displaystyle{ 1}\) i wzór na sumę szeregu działa jak ta lala. To jest jasne

Co w takim razie z \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty (n+1) x^{n+1} =x \cdot \sum_{n=0}^\infty (n+1) x^{n}= x \cdot \left( \sum_{n=0}^\infty nx^{n}+\sum_{n=0}^\infty x^{n}\right)}\) tak przekształcać tą sumę? co dalej?

Wybacz ale dawno miałem takie rzeczy i nawet nie wiem czym się posiłkować, wstyd.

[bartek118]

Oznaczmy
\(\displaystyle{ A:=\sum_{n=1}^\infty n x^n}\)
Robimy tak
\(\displaystyle{ A = \sum_{n=1}^\infty n x^n = \sum_{n=0}^\infty (n+1) x^{n+1} = x \left( \sum_{n=0}^\infty n x^n + \sum_{n=0}^\infty x^n \right) = x \left( \sum_{n=1}^\infty n x^n + \sum_{n=0}^\infty x^n \right) = x \left(A + \frac{1}{1-x} \right),}\)
stąd
\(\displaystyle{ A = x A + \frac{x}{1-x} \\
(1-x) A = \frac{x}{1-x} \\
A = \frac{x}{(1-x)^2}}\)

[Jajecznica]

Skąd!? \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }nx^n = \sum_{n=1}^{ \infty }nx^n}\) ?

\(\displaystyle{ A = \sum_{n=1}^\infty n x^n = \sum_{n=0}^\infty (n+1) x^{n+1} = x \left( \sum_{n=0}^\infty n x^n + \sum_{n=0}^\infty x^n \right) = x \left( \sum_{n=1}^\infty (n-1) x^{n-1} + \sum_{n=0}^\infty x^n \right)= x \left( \frac{1}{x} \left( \sum_{n=1}^\infty (n-1) x^{n}\right) + \sum_{n=0}^\infty x^n \right) = \sum_{n=1}^\infty nx^{n}-\sum_{n=1}^\infty x^{n} + x\sum_{n=0}^\infty x^n = \sum_{n=1}^\infty nx^{n}}\)
Tam i z powrotem Nie wiem po co to tak rozpisałem, ale namęczyłem się więc zostawię.



Jak to jest? \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }nx^n = \sum_{n=1}^{ \infty }nx^n}\) czy to jest tak, że robiąc to przekształcenie, dodajesz do tej sumy \(\displaystyle{ n \cdot x^n}\) podstawiając \(\displaystyle{ 0}\) pod \(\displaystyle{ n}\)?? I wychodzi że dodajemy zero więc jest spoko?

[Janusz Tracz]

Skąd!? \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }nx^n = \sum_{n=1}^{ \infty }nx^n}\)?

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }nx^n =0 \cdot x^0+\sum_{n=1}^{ \infty }nx^n=\sum_{n=1}^{ \infty }nx^n}\)

[bartek118]

Oczywiście to nie koniec zadania, aby znaleźć \(\displaystyle{ a_n}\) należy teraz \(\displaystyle{ f(x)}\) rozwinąć w szereg potęgowy.

[Jajecznica]

Oczywiście

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{25}{1-3x}+ \frac{14x}{(1-x)^2 \cdot (1-3x)}- \frac{49x}{(1-x)(1-3x)}}\)

Nie pamiętam żebym kiedykolwiek coś takiego robił robił

I jakie jest \(\displaystyle{ x_{0}}\) w tym przypadku?

\(\displaystyle{ f(x)=25 \sum_{n=0}^{ \infty } \left( 3x\right)^n +7x \left[ 2\left( \sum_{n=0}^{ \infty }x^n\right)^2 \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }\left( 3x\right)^n - 7 \sum_{n=0}^{ \infty }x^n \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }^{n=0} \left( 3x\right) ^n \right]=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{n=0}^{ \infty } \left( 3x\right)^n\left[ 25+7x\sum_{n=0}^{ \infty }x^n\left(\sum_{n=0}^{ \infty }x^n-7\right) \right]}\)

kiepsko to wygląda

[bartek118]

No tak nie bardzo. Zapisz swoją funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\) w postaci ułamka (mianownik w postaci iloczynowej), a następnie rozbij ją na sumę ułamków prostych.

[Jajecznica]

Rozkład wygląda następująco(??):

\(\displaystyle{ f(x)= 25\frac{1}{1-3x}+ (x-3)\frac{1}{\left( 1-x\right)^2 }+ \frac{3}{1-3x} + \frac{49}{2}\left( \frac{1}{1-x} - \frac{1}{1-3x} \right)}\)

Rozwinięcie w szereg wygląda tak(??):

\(\displaystyle{ f(x)=25 \sum_{n=0}^{ \infty }(3x)^n + (x-3)\left( \sum_{n=0}^{ \infty }x^n\right)^2+ 3\sum_{n=0}^{ \infty }(3x)^n + \frac{49}{2}\left( \sum_{n=0}^{ \infty }x^n-\sum_{n=0}^{ \infty }(3x)^n\right)}\)

i co? pododawać?
\(\displaystyle{ \frac{7}{2} \sum_{n=0}^{ \infty }(3x)^n+ \frac{49}{2} \sum_{n=0}^{ \infty }x^n+(x-3)\left( \sum_{n=0}^{ \infty }x^n\right)^2}\)

Jak doprowadzić to do końca?

[bartek118]

Rozwinięcie
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^2}}\)
to
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty (n+1) x^{n}}\)

Wtedy pododawać, to co pojawi się przy \(\displaystyle{ x^n}\) to właśnie zgodnie z definicją - \(\displaystyle{ a_n}\).

[Jajecznica]

Woow! rzeczywiście, tylko co z tym \(\displaystyle{ x}\)

bo wyszło \(\displaystyle{ \frac{7}{2} \cdot 3^n+x+ \frac{43}{2}+(x-3)n}\)

i sprawdzając dla \(\displaystyle{ n=0}\) to zgadza się jak najbardziej ale tylko wtedy jak przyjmę, że \(\displaystyle{ x=0}\)

[bartek118]

Bo źle dodałeś szeregi.

\(\displaystyle{ (x-3) \sum_{n=0}^\infty (n+1) x^{n} = \sum_{n=0}^\infty (n+1) x^{n+1} - \sum_{n=0}^\infty 3 (n+1) x^{n}}\)