Kombinatoryka, "na ile sposobów można wybrać..."

[Jajecznica]

W sklepie są czapki w 7 kolorach. Na ile sposobów można wybrać 40 czapek:

a)tak aby w wybranym zbiorze były co najmniej 2 czapki w każdym kolorze.
b)tak aby w wybranym zbiorze było dokładnie 9 czarnych czapek.

Zakładamy że czapki tego samego koloru są nierozróżnialne oraz że jest dostępnych co najmniej 40 z każdego koloru.


Coś za łatwo poszło a nie mam odpowiedzi do zadania, zerknijcie proszę:

a) Skoro w zbiorze ma być co najmniej po dwie czapki z każdego koloru, czyli 14 czapek jest na bank z każdego koloru, wystarczy policzyć kombinacje z powtórzeniami \(\displaystyle{ C^{7}_{26}}\) ??

b) 9 czapek czarnych, zatem odpada jeden kolor i 9 czapek do losowania, dlatego liczę \(\displaystyle{ C^{6}_{31}}\)

[NogaWeza]

Moja intuicja kombinatoryczna jest już martwa, ale czy na pewno zadanie to ma sens gdy nie znamy całkowitej liczby czapek?

Powiedziałbym, że jeśli mamy \(\displaystyle{ n}\) czapek każdego koloru, to odpowiedzią do podpunktu a jest:

\(\displaystyle{ {n \choose 2}^7 \cdot {7 \cdot n - 14 \choose 26}}\)

tj. najpierw wybieramy \(\displaystyle{ 2}\) czapki z jednego koloru, potem znów \(\displaystyle{ 2}\) czapki z drugiego koloru, tak aż do siódmego koloru, wtedy mamy zagwarantowane co najmniej dwie czapki w każdym z siedmiu kolorów. Następnie pozostałe \(\displaystyle{ 26}\) czapek wybieramy z tych, które zostały. Czy może się mylę?

Jajecznica, bierz proszę to co napisałem z przymrużeniem oka, bo sam nie jestem pewien swojego rozwiązania i będę komuś wdzięczny za jego weryfikację lub korektę.

edit: a teraz to w sumie sam nie wiem czy to jest istotne i czy powinienem używać po prostu symbolu Newtona. Cóż, nie chce mi się myśleć, czekam aż ktoś mądrzejszy przyjdzie i rozwiąże.

[Jajecznica]

Nie do końca się zgadzam, bo nie ma znaczenia jak wybierzemy te 7 par. Ilość kombinacji wyboru siedmiu par to 1 - kolejność jest nieistotna a czapki są nierozróżnialne.

A co do "całkowitej liczby czapek". Mamy wybrać 40. Jest 7 kolorów po 40 czapek z każdego (ten warunek jest po to aby nie było sytuacji że któryś kolor może się skończyć), tutaj nie będzie żadnych niewiadomych.

Kombinatoryka to jedyny dział matematyki którego nigdy nie mogłem (nie chciałem) dobrze ogarnąć i teraz zbieram żniwa. Liczę na was.

[Jajecznica]

Jako, że nie doczekałem się pewnej odpowiedzi (NogaWęża i tak dziękuję) a sam w drodze nauki doszedłem do poprawnego rozwiązania, umieszczę je tutaj (nie ma tego dużo) tym samym zamykając temat.

a)w wybranym zbiorze ma być po 2 czapki z każdego koloru. Czyli w każdym zbiorze musi być wybranych 14 czapek, których kolory są już ustalone(choć to tak na prawdę nie istotne, każdego układu 14 czapek w tym przypadku możliwości będzie tylko 1, ponieważ czapki są nierozróżnialne a kolejność nie ma znaczenia). Dalej wybieramy już tylko 26 czapek spośród 7 kolorów.
Czyli tworzymy 26 elementowe (czapkowe) układy z 7 elementów (kolorów)

Rozwiązaniem jest kombinacja z powtórzeniami postaci: \(\displaystyle{ C^{26}_{7}= \frac{(26+7-1)!}{26!(7-1)!}=906192}\)

b)na tej samej zasadzie, tylko że odpada jeden kolor, ponieważ ma być go dokładnie taka ilość.

\(\displaystyle{ C^{31}_{6}=376992}\)

[Takahashi]

a) Rozwiązujemy równanie \(\displaystyle{ x_1 + x_2 + \ldots + x_7 = 40}\) przy założeniu \(\displaystyle{ x_i \ge 2}\), czyli szukamy współczynnika przy \(\displaystyle{ x^40}\) w

\(\displaystyle{ \left(\frac{x^2}{1-x}\right)^7}\).

Każdy, kto używał dłużej funkcji tworzących, jest w stanie to zrobić.

[kerajs]

a)
\(\displaystyle{ {32 \choose 6}}\)

(Jako ilość rozwiązań równania: \(\displaystyle{ x_1 + x_2 + \ldots + x_7 = 33 \ \ , \ \ x_i \ge 1}\) )

[Jajecznica]

Analogiczne zadanie:

Na ile sposobów można wybrać 11 osób spośród dowolnej liczby Polaków, Austriaków,
Chorwatów i Niemców jeżeli zakładamy, że osoby jednej narodowości są nierozróżnialne oraz
a) w wybranej grupie jest co najmniej 6 Polaków ,
b) w wybranej grupie jest dowolna liczba Polaków.

a) \(\displaystyle{ C^{5}_{4} = 56}\)

b) \(\displaystyle{ C^{11}_{4} = 364}\)

Zadanie i odpowiedź ze strony wykładowcy mini z pw.

[kerajs]

To prawidłowe wyniki.
a)
\(\displaystyle{ overline{C}_4^5= {5+4-1 choose 5}= {8 choose 5}=56}\)
a)
\(\displaystyle{ overline{C}_4^{11}= {11+4-1 choose 11}= {14 choose 11}=364}\)

To takie same przykłady jak b) w 423745.htm

[Jajecznica]

To w takim razie proszę o wskazanie różnicy między zadaniami wpływającej na inny sposób liczenia, bo to za mądre dla mnie.

czapki = osoby
kolory = narodowości

czapki jednego koloru - nierozróżnialne
osoby jednej narodowości - nierozróżnialne

Skąd te różnice w rozwiązywaniu?

[kerajs]

Mogę się jedynie odnieść do SWOICH postów.

Różnice w liczeniu to kwestia przyzwyczajeń, posiadanej wiedzy, pomysłu, samopoczucia, itp, itd, etc. Ważne aby wynik był identyczny.

Policzę punkt a) kombinacją z powtórzeniami.
Wpierw wybieram po dwie czapki w każdym kolorze. Teraz zadanie jest równoważne z policzeniem na ile sposobów można wybrać \(\displaystyle{ 40-2 \cdot 7=26}\) czapek mając do dyspozycji czapki w 7 kolorach.
\(\displaystyle{ il=\overline{C}_7^{26}= {26+7-1 \choose 26}= {32 \choose 26}}\)
Zauważ że to tyle samo, ile podałem:
\(\displaystyle{ ...={32 \choose 26}= {32 \choose 32-26}= {32 \choose 6}}\)
choć ten wynik uzyskałem inaczej.

[Jajecznica]

Jasne Wielkie dzięki !