\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}(k-1)! { n \brace k} = 0}\) dla \(\displaystyle{ n > 1}\)
Pomoże ktoś?
Udowodnij tożsamość
-
- Użytkownik
- Posty: 137
- Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 36 razy
Re: Udowodnij tożsamość
Dla \(\displaystyle{ n=2}\) teza jest spełniona.
Zastosujmy wzór rekurencyjny \(\displaystyle{ {n \brace k}=k {n-1 \brace k} +{n-1 \brace k-1}}\) oraz fakt, że dla \(\displaystyle{ k>n \quad{n \brace k}={n \brace 0}=0}\).
\(\displaystyle{ \sum \limits _{k=1}^{n+1}(-1)^k (k-1)! {n+1 \brace k}=\sum \limits _{k=1}^{n+1}(-1)^k (k-1)! (k{n \brace k}+{n \brace k-1})=}\)
\(\displaystyle{ =\sum \limits _{k=1}^{n}(-1)^k k! {n \brace k}+\sum \limits _{k=1}^{n+1}(-1)^k (k-1)! {n \brace k-1}=\sum \limits _{k=1}^{n}(-1)^k k! {n \brace k}+\sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{k+1} k! {n \brace k}=}\)
\(\displaystyle{ =(-1)^1 0!{n \brace 0}=0}\)
Zastosujmy wzór rekurencyjny \(\displaystyle{ {n \brace k}=k {n-1 \brace k} +{n-1 \brace k-1}}\) oraz fakt, że dla \(\displaystyle{ k>n \quad{n \brace k}={n \brace 0}=0}\).
\(\displaystyle{ \sum \limits _{k=1}^{n+1}(-1)^k (k-1)! {n+1 \brace k}=\sum \limits _{k=1}^{n+1}(-1)^k (k-1)! (k{n \brace k}+{n \brace k-1})=}\)
\(\displaystyle{ =\sum \limits _{k=1}^{n}(-1)^k k! {n \brace k}+\sum \limits _{k=1}^{n+1}(-1)^k (k-1)! {n \brace k-1}=\sum \limits _{k=1}^{n}(-1)^k k! {n \brace k}+\sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{k+1} k! {n \brace k}=}\)
\(\displaystyle{ =(-1)^1 0!{n \brace 0}=0}\)