Rekurencja z sumą ciągu geometrycznego,

[Avenir]

Mam za zadanie znaleźć wzór jawny rekurencji o postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=2 \\ a_{n}=(-3)^{2n+2} \cdot \sqrt{2} \cdot a_{n-1} \end{cases}}\)
Po rozpisaniu rekurencji i przekształceniach na potęgach doszedłem do wniosku, że:
\(\displaystyle{ a_{n}=9 \sqrt{2} \cdot 9^{n} \cdot 9 \sqrt{2} \cdot 9^{n-1} \cdot ... \cdot 9\sqrt{2} \cdot 9^{2} \cdot (-2)}\)
Aby to obliczyć chciałem skorzystać ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego, ale nie wiem jak to ugryźć. Czy podstawiając do wzoru
\(\displaystyle{ a_{1} = (-2)}\)
\(\displaystyle{ q=9\sqrt{2} \cdot 9^{n}}\) ?
Bo nie wiem jak obliczyć:
\(\displaystyle{ S=(-2) \frac{1-(9\sqrt{2} \cdot 9^{n})^{n}}{1-9\sqrt{2} \cdot 9^{n}}}\)

[bartek118]

Raczej ciągu arytmetycznego. Masz
\(\displaystyle{ a_{n}=9 \sqrt{2} \cdot 9^{n} \cdot 9 \sqrt{2} \cdot 9^{n-1} \cdot ... \cdot 9\sqrt{2} \cdot 9^{2} \cdot 2 = 9^{(n+1) + n + (n-1) + \ldots + 3} \sqrt{2}^{n-1} \cdot 2}\)

[Janusz Tracz]

Mamy że \(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_{n-1}}=9^{n+1} \sqrt{2}}\) więc

\(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_1} =\underbrace{\frac{a_2}{a_1} \cdot \frac{a_3}{a_2} \cdot \frac{a_4}{a_3} \cdot ... \cdot \frac{a_n}{a_{n-1}}}_{n-1 \ \text{składników}}=9^{3+4+5+...+(n+1)} \cdot \left( \sqrt{2}\right)^{n-1}}\)

Dlatego

\(\displaystyle{ a_n=2 \cdot \left( \sqrt{2}\right)^{n-1} \cdot 9^{ \frac{(n+2)(n+1)-6}{2}}=2^{ \frac{n+1}{2} } \cdot 3^{(n+2)(n+1)-6}}\)