W kolejne wiersze tablicy/macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ A}\) przyporządkowane są liczby \(\displaystyle{ 1, ... , n^2}\). * a następnie wyróżniono z niej \(\displaystyle{ n}\) liczb, tak że w każdym wierszu jak i kolumnie jest jedna jedyna z tych wyróżnionych liczb. Jaka będzie wtedy suma tych \(\displaystyle{ n}\) liczb ?
*. tj, Jeśli \(\displaystyle{ A}\) będzie tą macierzą to \(\displaystyle{ a_{i, j} = n(i-1) + j}\)
Tablica, liczby, suma
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11365
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1114
- Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 157 razy
Re: Tablica, liczby, suma
Dla każdego wyrazu \(\displaystyle{ a_{i, j}}\) sumę \(\displaystyle{ n(i-1) + j}\) rozdzielmy na dwie części \(\displaystyle{ n(i -
1)}\) oraz \(\displaystyle{ j}\). Jeżeli przesumujemy je oddzielnie (a wiemy, że w każdej kolumnie i wierszu jest wyróżniona dokładnie jedna liczba, czyli sumujemy je od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\)) to cała suma to \(\displaystyle{ S = \sum_{i = 1}^{n} n(i-1) + \sum_{j = 1}^{n} j = n \frac{(n - 1)n}{2}+ \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{ n^{3} - n ^{2} + n ^{2} + n }{2} = \frac{n^{3} + n}{2}}\)
1)}\) oraz \(\displaystyle{ j}\). Jeżeli przesumujemy je oddzielnie (a wiemy, że w każdej kolumnie i wierszu jest wyróżniona dokładnie jedna liczba, czyli sumujemy je od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\)) to cała suma to \(\displaystyle{ S = \sum_{i = 1}^{n} n(i-1) + \sum_{j = 1}^{n} j = n \frac{(n - 1)n}{2}+ \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{ n^{3} - n ^{2} + n ^{2} + n }{2} = \frac{n^{3} + n}{2}}\)