Zwarta postać funkcji tworzącej

[Bartom]

Funkcja \(\displaystyle{ G(z)= \frac{ e^{2z-1} }{2z}}\) jest zwartą postacią funkcji tworzącej ciągu...?
Zamieniam \(\displaystyle{ e^{x}= \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{ x^{k} }{k!}}\), podstawiam pod x=2z i dzielę przez 2z. Mam problem z -1 w potędze. Gdyby jej nie było, to chyba wiedziałbym jak to robić.

[Premislav]

\(\displaystyle{ e^{2z-1}=e^{-1}\cdot e^{2z}}\)
więc nie widzę problemu.
Pomysł wygląda na dobry.

[Bartom]

Czy tak jest ok?
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{ 2^{k} }{2z*e*k!}* z^{k}}\) wrzucam 2 do licznika i \(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\) do \(\displaystyle{ z^{k}}\) Czy ten ciąg to
\(\displaystyle{ \frac{2^{k-1}}{e*k!}}\)? Czy potęga k-1 przy \(\displaystyle{ z}\) ma jakieś znaczenie?

[Premislav]

Nie, niestety ta potęga \(\displaystyle{ k-1}\) przy \(\displaystyle{ z}\) ma jednak duże znaczenie (też to wcześniej przeoczyłem).
A może miała być taka funkcja tworząca:
\(\displaystyle{ G(z)= \frac{e^{2z}-1}{2z}}\)

W pierwszej chwili tego nie zauważyłem, ale ta funkcja "tworząca", którą podałeś ma biegun w zerze, a tak być nie może.

[Bartom]

Faktycznie, przykład wygląda tak jak napisałeś... mój błąd
Teraz otrzymuje sumę i element poza sumą \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{ (2z)^{k-1} }{k!}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{2z}}\)
Jak to teraz zrobić?

[Premislav]

Zauważ, że pierwszy wyraz tej sumy skraca się z tym \(\displaystyle{ -\frac{1}{2z}}\)
i dostajesz
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{2^{k-1}}{k!}z^{k-1}= \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{2^k}{(k+1)!}z^k}\)

[Bartom]

Wow, sprytnie. Dzięki!