Książki na półkach
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 29 paź 2013, o 19:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 4 razy
Książki na półkach
Mamy \(\displaystyle{ n}\) różnych książek i \(\displaystyle{ k}\) różnych półek. Kolejność książek na pólkach ma znaczenie.
a) Ile jest sposobów na umieszczenie książek na półkach?
b)Ile jest sposobów, jeśli półki nie mogą być puste?
Rozwiązanie wygląda następująco:
ad.a)
\(\displaystyle{ \[\frac{(n+k-1)!}{(k-1)!}\]}\)
ad.b
\(\displaystyle{ \binom{n}{k} k!\[\frac{(n-1)!}{(k-1)!}\]}\)
Czy jest ono poprawne? Wydaje mi się, że ono nie uwzględnia różnej kolejności książek na półkach.
a) Ile jest sposobów na umieszczenie książek na półkach?
b)Ile jest sposobów, jeśli półki nie mogą być puste?
Rozwiązanie wygląda następująco:
ad.a)
\(\displaystyle{ \[\frac{(n+k-1)!}{(k-1)!}\]}\)
ad.b
\(\displaystyle{ \binom{n}{k} k!\[\frac{(n-1)!}{(k-1)!}\]}\)
Czy jest ono poprawne? Wydaje mi się, że ono nie uwzględnia różnej kolejności książek na półkach.
Ostatnio zmieniony 26 cze 2017, o 22:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Książki na półkach
W pierwszym
\(\displaystyle{ \sum_{x_{1}+...+x_{k}=n}^{} {n \choose x_{1},x_{2},...,x_{k}} x_{1}! \cdot ... \cdot x_{k}!=n! \cdot {n+k-1 \choose n}}\)
W drugim analogicznie:
\(\displaystyle{ \sum_{x_{1}+...+x_{k}=n ,x_{i} \ge 1}^{} {n \choose x_{1},x_{2},...,x_{k} } x_{1}! \cdot ... \cdot x_{k}!=n! \cdot {n-1 \choose k-1}}\)
poprawa wiadomości.
\(\displaystyle{ \sum_{x_{1}+...+x_{k}=n}^{} {n \choose x_{1},x_{2},...,x_{k}} x_{1}! \cdot ... \cdot x_{k}!=n! \cdot {n+k-1 \choose n}}\)
W drugim analogicznie:
\(\displaystyle{ \sum_{x_{1}+...+x_{k}=n ,x_{i} \ge 1}^{} {n \choose x_{1},x_{2},...,x_{k} } x_{1}! \cdot ... \cdot x_{k}!=n! \cdot {n-1 \choose k-1}}\)
poprawa wiadomości.
Ostatnio zmieniony 28 cze 2017, o 10:49 przez arek1357, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 153
- Rejestracja: 28 maja 2016, o 11:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: obecnie Łódź
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 45 razy
Książki na półkach
a)
niech \(\displaystyle{ \cdot}\) oznacza książkę, a \(\displaystyle{ \setminus}\) oznacza półkę. Stosujemy konwencję, że zapis np. \(\displaystyle{ \setminus \cdot \cdot \setminus \setminus \cdot}\) oznacza, że na pierwszej półce są 2 książki, na drugiej ani jednej, na trzeciej jest jedna.
Najpierw wybieramy sekwencję złożoną ze znaków \(\displaystyle{ \cdot}\) oraz \(\displaystyle{ \setminus}\), przy czym musi się ona zaczynać od \(\displaystyle{ \setminus}\). Sprowadza się to do określenia \(\displaystyle{ k-1}\) miejsc dla symboli \(\displaystyle{ \setminus}\) wśród \(\displaystyle{ n+k-1}\) wszystkich miejsc. Możemy to zrobić na \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\) sposobów. Podany wzór otrzymamy po uwzględnieniu, że kolejność książek ma znaczenie.
b)
Najpierw na każdą półkę położymy książkę. Wybieramy więc \(\displaystyle{ k}\) książek na \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) sposobów. Domnażamy przez \(\displaystyle{ k!}\), aby uwzględnić kolejność. Pozostaje nam \(\displaystyle{ n-k}\) książek do rozstawienia na \(\displaystyle{ k}\) półkach. Postępując jak w a), tym razem mamy \(\displaystyle{ (n-k)+k-1=n-1}\) miejsc, na których mamy ustawić tym razem \(\displaystyle{ k-1}\) par symboli \(\displaystyle{ \setminus \cdot}\) (bo na każdej półce już jest książka). Po domnożeniu przez \(\displaystyle{ (n-k)!}\) (uwzględniamy kolejność książek, które pozostały), otrzymujemy żądany wzór.
niech \(\displaystyle{ \cdot}\) oznacza książkę, a \(\displaystyle{ \setminus}\) oznacza półkę. Stosujemy konwencję, że zapis np. \(\displaystyle{ \setminus \cdot \cdot \setminus \setminus \cdot}\) oznacza, że na pierwszej półce są 2 książki, na drugiej ani jednej, na trzeciej jest jedna.
Najpierw wybieramy sekwencję złożoną ze znaków \(\displaystyle{ \cdot}\) oraz \(\displaystyle{ \setminus}\), przy czym musi się ona zaczynać od \(\displaystyle{ \setminus}\). Sprowadza się to do określenia \(\displaystyle{ k-1}\) miejsc dla symboli \(\displaystyle{ \setminus}\) wśród \(\displaystyle{ n+k-1}\) wszystkich miejsc. Możemy to zrobić na \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\) sposobów. Podany wzór otrzymamy po uwzględnieniu, że kolejność książek ma znaczenie.
b)
Najpierw na każdą półkę położymy książkę. Wybieramy więc \(\displaystyle{ k}\) książek na \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) sposobów. Domnażamy przez \(\displaystyle{ k!}\), aby uwzględnić kolejność. Pozostaje nam \(\displaystyle{ n-k}\) książek do rozstawienia na \(\displaystyle{ k}\) półkach. Postępując jak w a), tym razem mamy \(\displaystyle{ (n-k)+k-1=n-1}\) miejsc, na których mamy ustawić tym razem \(\displaystyle{ k-1}\) par symboli \(\displaystyle{ \setminus \cdot}\) (bo na każdej półce już jest książka). Po domnożeniu przez \(\displaystyle{ (n-k)!}\) (uwzględniamy kolejność książek, które pozostały), otrzymujemy żądany wzór.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Książki na półkach
co do a).Ten wzór już się sypie przy np: 2 półkach i 3 książkach.
1,2,3
\ - tu już masz 6 możliwości
\
1,2,3 - tu też 6 możliwości
teraz na górnej jest dwie książki a na dolnej jedna jest już też sześć możliwości + na odwrót kolejne sześć masz już 24 możliwości a teraz z twego wzoru:
\(\displaystyle{ {2+3-1 \choose 2-1}=4}\)
lipa...
Nie uwzględniasz, że półki i książki są rozróżnialne więc każde ułożenie jest inne
Jest tu złożenie kombinacji z powtórzeniem wraz z permutacjami na półkach...
w moim wzorze jest to założenie wzięte pod uwagę!
w b). pewnie też nie będzie lepiej.
1,2,3
\ - tu już masz 6 możliwości
\
1,2,3 - tu też 6 możliwości
teraz na górnej jest dwie książki a na dolnej jedna jest już też sześć możliwości + na odwrót kolejne sześć masz już 24 możliwości a teraz z twego wzoru:
\(\displaystyle{ {2+3-1 \choose 2-1}=4}\)
lipa...
Nie uwzględniasz, że półki i książki są rozróżnialne więc każde ułożenie jest inne
Jest tu złożenie kombinacji z powtórzeniem wraz z permutacjami na półkach...
w moim wzorze jest to założenie wzięte pod uwagę!
w b). pewnie też nie będzie lepiej.
-
- Użytkownik
- Posty: 153
- Rejestracja: 28 maja 2016, o 11:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: obecnie Łódź
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 45 razy
Książki na półkach
arek1357, podstawiłeś pod zły wzór. Moje wzory są dokładnie takie, jak w pierwszym poście. Ja napisałem do nich uzasadnienie.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Książki na półkach
Gdzie jest źle w moim wzorze?
dla n=3, k=2 wychodzi 24 tyle ile ma być u ciebie nie, wzór kerajsa jest też ok , wychodzi to samo
U mnie jest prosto łączę kombinacje z permutacjami i wszystko trybi
dla n=3, k=2 wychodzi 24 tyle ile ma być u ciebie nie, wzór kerajsa jest też ok , wychodzi to samo
U mnie jest prosto łączę kombinacje z permutacjami i wszystko trybi
-
- Użytkownik
- Posty: 153
- Rejestracja: 28 maja 2016, o 11:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: obecnie Łódź
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 45 razy
Re: Książki na półkach
Chodzi mi o to, że tutaj, chcąc liczyć z mojego wzoru, użyłeś złego wzoru:
Bo ja napisałem:arek1357 pisze:\(\displaystyle{ {2+3-1 \choose 2-1}=4}\)
Pisząc "podany" mam na myśli ten z pierwszego posta. "Po uwzględnieniu, że kolejność książek ma znaczenie", czyli po przemnożeniu przez \(\displaystyle{ n!}\).tomwanderer pisze:Możemy to zrobić na \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\) sposobów. Podany wzór otrzymamy po uwzględnieniu, że kolejność książek ma znaczenie.