Funkcja tworząca ciągu.

[jakub1998]

Witam, czy nie ma tu zrobionego żadnego błędu?
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0} = 2 \\ a_{1} = 5 \\ a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6 a_{n} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{} a_{n+2}x^{n} = 5 \sum_{n=0}^{} a_{n+1}x^{n} - 6 \sum_{n=0}^{} a_{n}x^{n}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}}( \sum_{n=0}^{} a_{n+2}x^{n+2}) = \frac{5}{x} (\sum_{n=0}^{} a_{n+1}x^{n+1}) - 6 \sum_{n=0}^{} a_{n}x^{n}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{} a_{n}x^{n} = f(x)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}}(f(x)-2-5x) = 5x(f(x)-2) - 6x^{2}f(x)}\)

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{-5x+2}{6x^{2}-5x+1}}\)

Ponieważ mam z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ a_{n}}\) i wydaje mi się, że to \(\displaystyle{ 6x^{2}}\) w mianowniku bardzo to utrudnia przy rozbiciu na ułamki proste..

[bartek118]

Czemu ma utrudniać? Rozłóż mianownik na czynniki.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ 6x^2-5x+1=\left( 1-\lambda_{1}x\right)\left( 1-\lambda_{2}x\right)\\
1-5x+6x^2=\left( 1-2x\right)\left( 1-3x\right)}\)