Cześć, potrzebuję zrozumieć jak stworzyć zwartą postać funkcji tworzącej dla jakiegoś ciągu. Potrafie już stworzyć taką funkcję jeżeli ciąg jest określony rekurencyjnie, niestety nie wychodzi mi gdy ciąg jest przedstawiony tylko za pomocą wyrazu ogólnego \(\displaystyle{ ( a_{n} )}\)
Przykłady, które mi nie idą:
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{n+3}{ a^{n} }}\)
\(\displaystyle{ b _{n} = 3^{n} + \frac{1}{n+1} +n +8}\)
\(\displaystyle{ c _{n} = 2^{n} + 3^{n}}\)
\(\displaystyle{ d_{n} =n}\)
Do tej pory z tej kategorii zadan wyznaczylem funkcje tworzaca dla \(\displaystyle{ e_{n} = \frac{1}{ 2^{n} }}\) i wyszlo mi \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{1- \frac{x}{2} }}\)
Zwarta postać funkcji tworzącej dla ciągu
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Zwarta postać funkcji tworzącej dla ciągu
Jeżeli masz dany ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\), to jego funkcją tworzącą jest po prostu
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_n x^n}\)
Przykładowo:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } c_n x^n= \sum_{n=0}^{ \infty }(2^n+3^n)x^n=\\= \sum_{n=0}^{ \infty }2^nx^n+\sum_{n=0}^{ \infty }3^nx^n= \frac{1}{1-2x}+ \frac{1}{1-3x}, \ |x|<\frac 1 3}\)
ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }c_n x^n= \sum_{n=0}^{ \infty }nx^n= \sum_{n=0}^{ \infty } \sum_{k=0}^{n-1}x^n= \sum_{k=0}^{ \infty } \sum_{n=k+1}^{ \infty }x^n=\\= \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{x^{k+1}}{1-x} = \frac{x}{1-x} \sum_{k=0}^{ \infty }x^k= \frac{x}{(1-x)^2}, \ |x|<1}\)
Ogólniej, oprócz wzoru na sumę szeregu geometrycznego, przydaje się różniczkowanie i całkowanie szeregów potęgowych wyraz po wyrazie (wewnątrz przedziału zbieżności).
Np.
\(\displaystyle{ -\ln(1-x)= \int_{0}^{x}\frac{\,\dd t}{1-t}= \int_{0}^{x} \left( \sum_{n=0}^{ \infty }t^n \right) \,\dd t= \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \int_{0}^{x}t^n \,\dd t \right) = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{n+1}x^{n+1},\\ \ |x|<1\\ \frac{1}{(1-x)^2} =\left( \frac{1}{1-x} \right)'=\left( \sum_{n=0}^{ \infty }x^n \right)' = \sum_{n=0}^{ \infty } (x^n)'= \sum_{n=1}^{ \infty }nx^{n-1}, \ |x|<1}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_n x^n}\)
Przykładowo:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } c_n x^n= \sum_{n=0}^{ \infty }(2^n+3^n)x^n=\\= \sum_{n=0}^{ \infty }2^nx^n+\sum_{n=0}^{ \infty }3^nx^n= \frac{1}{1-2x}+ \frac{1}{1-3x}, \ |x|<\frac 1 3}\)
ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }c_n x^n= \sum_{n=0}^{ \infty }nx^n= \sum_{n=0}^{ \infty } \sum_{k=0}^{n-1}x^n= \sum_{k=0}^{ \infty } \sum_{n=k+1}^{ \infty }x^n=\\= \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{x^{k+1}}{1-x} = \frac{x}{1-x} \sum_{k=0}^{ \infty }x^k= \frac{x}{(1-x)^2}, \ |x|<1}\)
Ogólniej, oprócz wzoru na sumę szeregu geometrycznego, przydaje się różniczkowanie i całkowanie szeregów potęgowych wyraz po wyrazie (wewnątrz przedziału zbieżności).
Np.
\(\displaystyle{ -\ln(1-x)= \int_{0}^{x}\frac{\,\dd t}{1-t}= \int_{0}^{x} \left( \sum_{n=0}^{ \infty }t^n \right) \,\dd t= \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \int_{0}^{x}t^n \,\dd t \right) = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{n+1}x^{n+1},\\ \ |x|<1\\ \frac{1}{(1-x)^2} =\left( \frac{1}{1-x} \right)'=\left( \sum_{n=0}^{ \infty }x^n \right)' = \sum_{n=0}^{ \infty } (x^n)'= \sum_{n=1}^{ \infty }nx^{n-1}, \ |x|<1}\)