Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona znajdź zwartą postać sumy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {n \choose k} 2^{k}}\)
Nie bardzo rozumiem tę metodę rozwiązywania...
Zwarta postać sumy
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Zwarta postać sumy
Ogólniej można zapisać że
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^k=(1+x)^n}\)
Całkując powyższą równość mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {n \choose k} x^{k+1}= \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}+C}\)
Stałą \(\displaystyle{ C}\) wyznaczyć można podstawiając \(\displaystyle{ x=0}\) wtedy prawa strona zeruje się.
\(\displaystyle{ 0=\frac{1}{n+1} +C}\)
Więc \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {n \choose k} x^{k+1}= \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}-\frac{1}{n+1}}\)
Dzieląc przez \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {n \choose k} x^{k}= \frac{(1+x)^{n+1}-1}{x(n+1)}}\)
kładąc \(\displaystyle{ x=2}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {n \choose k} 2^{k}= \frac{3^{n+1}-1}{2(n+1)}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^k=(1+x)^n}\)
Całkując powyższą równość mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {n \choose k} x^{k+1}= \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}+C}\)
Stałą \(\displaystyle{ C}\) wyznaczyć można podstawiając \(\displaystyle{ x=0}\) wtedy prawa strona zeruje się.
\(\displaystyle{ 0=\frac{1}{n+1} +C}\)
Więc \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {n \choose k} x^{k+1}= \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}-\frac{1}{n+1}}\)
Dzieląc przez \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {n \choose k} x^{k}= \frac{(1+x)^{n+1}-1}{x(n+1)}}\)
kładąc \(\displaystyle{ x=2}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {n \choose k} 2^{k}= \frac{3^{n+1}-1}{2(n+1)}}\)