Strona 1 z 1

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

: 19 cze 2017, o 22:29
autor: Scrub
Ile jest rozwiązań równania \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=10}\) (dla liczb naturalnych).
Co w przypadku, gdy na każdy wyraz sumy nałożymy ograniczenie (np. \(\displaystyle{ x_{1..4} <= 4}\))?
Wiem, że trzeba skorzystać ze wzoru włączeń i wyłączeń, ale zależy mi po prostu na efektywnej metodzie obliczenia.

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

: 19 cze 2017, o 22:33
autor: arek1357
Poco włączeń i wyłączeń wystarczą wielomiany charakterystyczne

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

: 19 cze 2017, o 22:37
autor: 0Mniac
Skorzystaj ze wzoru:
\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\)

Co do restrykcji:
Wiem, że trzeba to zrobić jakoś od "tyłu". Na zasadzie- każdy współczynnik dostaje 4 do siebie- wtedy brakuje 6. Tworzysz nowe równanie i liczysz sposoby "zabierania" wartości przy konkretnych współczynnikach.

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

: 19 cze 2017, o 22:41
autor: arek1357
Ograniczenia:

\(\displaystyle{ w(x)= (x+x^2+x^3+x^4)^4}\)

Współczynnik przy:

\(\displaystyle{ x^{10}}\)

to szukana liczba

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

: 31 sie 2017, o 23:41
autor: Scrub
Niezła magia
W tym przykładzie pechowo się złożyło, że ograniczenie jest równe liczbie niewiadomych.
W nawiasie mamy \(\displaystyle{ x+...+x^4}\) bo są 4 niewiadome?
Nawias jest podnoszony do potęgi 4, bo mamy ograniczenie \(\displaystyle{ x_{1..4} <= 4}\)?

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

: 1 wrz 2017, o 00:29
autor: Takahashi
Odwrotnie. Jeśli wiemy, że \(\displaystyle{ a \le x_i \le b}\), mamy \(\displaystyle{ c}\) zmiennych i chcemy dostać sumę \(\displaystyle{ s}\), to szukamy współczynnika przy \(\displaystyle{ x^s}\) w \(\displaystyle{ (x^a + x^{a+1} + \ldots + x^b)^c}\).

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

: 1 wrz 2017, o 09:24
autor: Janusz Tracz
Jak nazywa się ta metoda w jakiej używacie "wielomianu charakterystycznego"? Bo po wyszukaniu wielomianu charakterystycznego znajduję tylko te odnośnie macierzy a chciałbym poczytać coś o tym, czemu ta metoda działa i skąd ten wielomian.

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

: 1 wrz 2017, o 13:43
autor: Cytryn
Znalazłem takiego pdfa: htttp://www.springer.com/cda/content/do ... p174110373

Na forum widziałem już ją kilka razy, na przykład 321646.htm#p5039468

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

: 1 wrz 2017, o 14:50
autor: Scrub
Ok dzięki, a jest jakiś rozsądny sposób na policzenie szukanego współczynnika? Coś podobnego do 269024.htm ale dla wielu zmiennych.

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

: 1 wrz 2017, o 15:35
autor: Janusz Tracz
Jest zobacz pod Multinomial theorem-- 1 wrz 2017, o 15:37 --Ps. Multinomial theorem 2

Re: Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

: 1 wrz 2017, o 16:47
autor: Scrub
Tam jest przypadek, gdzie wszystkie sumowane zmienne są podnoszone do potęgi 1, a tutaj każda zmienna ma inną potęgę.

Re: Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

: 1 wrz 2017, o 17:23
autor: Janusz Tracz
Ale to nie jest problemem bo mając wzór na \(\displaystyle{ \left( a+b+c+b+...\right)^n}\) możesz przyjąć \(\displaystyle{ a=x^1}\), \(\displaystyle{ b=x^2}\), \(\displaystyle{ c=x^3}\), \(\displaystyle{ d=x^4}\)... a właściwie to możesz przyjąć co tylko chcesz tak żeby Ci pasowało w danej sytuacji.-- 1 wrz 2017, o 17:29 --Ale to i tak w ogóle Ci nie potrzebne... zastosuj wzór na sumę ciągu geometrycznego do wyrażań postaci \(\displaystyle{ x+x^2+x^3+x^4}\) i potem możesz już stosować standardowy Dwumian Newtona

Re: Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

: 1 wrz 2017, o 23:51
autor: Scrub
Nie rozumiem z tym przyjmowaniem a, b, c,
https://www.wolframalpha.com/input/?i=( ... E2%2Bx%5E3)%5E4
https://www.wolframalpha.com/input/?i=( ... c%2Bd)%5E4
W pierwszym przypadku wszystko jasne, jak się zająć tym drugim nie rozumiem. Mógłbyś pokazać na jakimś przykładzie?

Re: Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

: 8 wrz 2017, o 18:39
autor: Ridos
Na to są proste wzory.
Nasze \(\displaystyle{ n=10}\), a nasza \(\displaystyle{ k=4}\).
1) Jeżeli liczymy dla naturalnych z zerem to mamy wzór:
\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1} = {10+4-1 \choose 4-1} = {13 \choose 3}}\)
2) Jeżeli liczymy dla naturalnych dodatnich:
\(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1} = {10-1 \choose 4-1} = {9 \choose 3}}\)
3) Jeżeli liczymy warunki \(\displaystyle{ \ge}\) to każdy warunek jest to \(\displaystyle{ n}\) z indeksem, popatrz:
\(\displaystyle{ {n-n _{1}-n _{2}-n _{3}-n _{4}+k-1 \choose k-1} = {10-4-4-4-4+4-1 \choose 4-1} = {-6 \choose 3}}\)
Teraz musisz pokombinować jak zrobić z warunkiem \(\displaystyle{ \le}\)
Aha wzór na obliczenie silni to:
\(\displaystyle{ {n \choose k}= \frac{n!}{k!\left( n-k\right)!}}\)