Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Scrub
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 4 paź 2016, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

Post autor: Scrub » 19 cze 2017, o 22:29

Ile jest rozwiązań równania \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=10}\) (dla liczb naturalnych).
Co w przypadku, gdy na każdy wyraz sumy nałożymy ograniczenie (np. \(\displaystyle{ x_{1..4} <= 4}\))?
Wiem, że trzeba skorzystać ze wzoru włączeń i wyłączeń, ale zależy mi po prostu na efektywnej metodzie obliczenia.
Ostatnio zmieniony 1 wrz 2017, o 16:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3861
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 380 razy

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

Post autor: arek1357 » 19 cze 2017, o 22:33

Poco włączeń i wyłączeń wystarczą wielomiany charakterystyczne

0Mniac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1 raz

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

Post autor: 0Mniac » 19 cze 2017, o 22:37

Skorzystaj ze wzoru:
\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\)

Co do restrykcji:
Wiem, że trzeba to zrobić jakoś od "tyłu". Na zasadzie- każdy współczynnik dostaje 4 do siebie- wtedy brakuje 6. Tworzysz nowe równanie i liczysz sposoby "zabierania" wartości przy konkretnych współczynnikach.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3861
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 380 razy

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

Post autor: arek1357 » 19 cze 2017, o 22:41

Ograniczenia:

\(\displaystyle{ w(x)= (x+x^2+x^3+x^4)^4}\)

Współczynnik przy:

\(\displaystyle{ x^{10}}\)

to szukana liczba

Scrub
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 4 paź 2016, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

Post autor: Scrub » 31 sie 2017, o 23:41

Niezła magia
W tym przykładzie pechowo się złożyło, że ograniczenie jest równe liczbie niewiadomych.
W nawiasie mamy \(\displaystyle{ x+...+x^4}\) bo są 4 niewiadome?
Nawias jest podnoszony do potęgi 4, bo mamy ograniczenie \(\displaystyle{ x_{1..4} <= 4}\)?

Awatar użytkownika
Takahashi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 186
Rejestracja: 12 maja 2017, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: brak
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 22 razy

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

Post autor: Takahashi » 1 wrz 2017, o 00:29

Odwrotnie. Jeśli wiemy, że \(\displaystyle{ a \le x_i \le b}\), mamy \(\displaystyle{ c}\) zmiennych i chcemy dostać sumę \(\displaystyle{ s}\), to szukamy współczynnika przy \(\displaystyle{ x^s}\) w \(\displaystyle{ (x^a + x^{a+1} + \ldots + x^b)^c}\).

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2616
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 69 razy
Pomógł: 824 razy

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

Post autor: Janusz Tracz » 1 wrz 2017, o 09:24

Jak nazywa się ta metoda w jakiej używacie "wielomianu charakterystycznego"? Bo po wyszukaniu wielomianu charakterystycznego znajduję tylko te odnośnie macierzy a chciałbym poczytać coś o tym, czemu ta metoda działa i skąd ten wielomian.

Awatar użytkownika
Cytryn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 405
Rejestracja: 17 wrz 2016, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 46 razy

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

Post autor: Cytryn » 1 wrz 2017, o 13:43

Znalazłem takiego pdfa: htttp://www.springer.com/cda/content/do ... p174110373

Na forum widziałem już ją kilka razy, na przykład 321646.htm#p5039468

Scrub
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 4 paź 2016, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

Post autor: Scrub » 1 wrz 2017, o 14:50

Ok dzięki, a jest jakiś rozsądny sposób na policzenie szukanego współczynnika? Coś podobnego do 269024.htm ale dla wielu zmiennych.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2616
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 69 razy
Pomógł: 824 razy

Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

Post autor: Janusz Tracz » 1 wrz 2017, o 15:35

Jest zobacz pod Multinomial theorem-- 1 wrz 2017, o 15:37 --Ps. Multinomial theorem 2

Scrub
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 4 paź 2016, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Re: Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

Post autor: Scrub » 1 wrz 2017, o 16:47

Tam jest przypadek, gdzie wszystkie sumowane zmienne są podnoszone do potęgi 1, a tutaj każda zmienna ma inną potęgę.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2616
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 69 razy
Pomógł: 824 razy

Re: Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

Post autor: Janusz Tracz » 1 wrz 2017, o 17:23

Ale to nie jest problemem bo mając wzór na \(\displaystyle{ \left( a+b+c+b+...\right)^n}\) możesz przyjąć \(\displaystyle{ a=x^1}\), \(\displaystyle{ b=x^2}\), \(\displaystyle{ c=x^3}\), \(\displaystyle{ d=x^4}\)... a właściwie to możesz przyjąć co tylko chcesz tak żeby Ci pasowało w danej sytuacji.-- 1 wrz 2017, o 17:29 --Ale to i tak w ogóle Ci nie potrzebne... zastosuj wzór na sumę ciągu geometrycznego do wyrażań postaci \(\displaystyle{ x+x^2+x^3+x^4}\) i potem możesz już stosować standardowy Dwumian Newtona

Scrub
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 4 paź 2016, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Re: Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

Post autor: Scrub » 1 wrz 2017, o 23:51

Nie rozumiem z tym przyjmowaniem a, b, c,
https://www.wolframalpha.com/input/?i=( ... E2%2Bx%5E3)%5E4
https://www.wolframalpha.com/input/?i=( ... c%2Bd)%5E4
W pierwszym przypadku wszystko jasne, jak się zająć tym drugim nie rozumiem. Mógłbyś pokazać na jakimś przykładzie?

Ridos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 2 sty 2017, o 15:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Elbląg
Podziękował: 6 razy

Re: Ile jest rozwiązań równania w liczbach naturalnych?

Post autor: Ridos » 8 wrz 2017, o 18:39

Na to są proste wzory.
Nasze \(\displaystyle{ n=10}\), a nasza \(\displaystyle{ k=4}\).
1) Jeżeli liczymy dla naturalnych z zerem to mamy wzór:
\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1} = {10+4-1 \choose 4-1} = {13 \choose 3}}\)
2) Jeżeli liczymy dla naturalnych dodatnich:
\(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1} = {10-1 \choose 4-1} = {9 \choose 3}}\)
3) Jeżeli liczymy warunki \(\displaystyle{ \ge}\) to każdy warunek jest to \(\displaystyle{ n}\) z indeksem, popatrz:
\(\displaystyle{ {n-n _{1}-n _{2}-n _{3}-n _{4}+k-1 \choose k-1} = {10-4-4-4-4+4-1 \choose 4-1} = {-6 \choose 3}}\)
Teraz musisz pokombinować jak zrobić z warunkiem \(\displaystyle{ \le}\)
Aha wzór na obliczenie silni to:
\(\displaystyle{ {n \choose k}= \frac{n!}{k!\left( n-k\right)!}}\)
Ostatnio zmieniony 8 wrz 2017, o 18:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ