Kombinacje z powtórzeniami a rozmieszczenia nieuporządkowane

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
qweqwe123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 3 sty 2017, o 20:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Kombinacje z powtórzeniami a rozmieszczenia nieuporządkowane

Post autor: qweqwe123 »

Witam!
W notatkach mojego wykładowcy czytam, iż wzorem na rozmieszczenia nieuporządkowane (rozmieszczenie n elementów w k róznych pudełkach) lub (liczba sposobow wyboru n przedmiotow(dopuszczane powtórzenia) z k różnych typów) jest \(\displaystyle{ n+k-1 \choose k-1}\).

Z kolei innym wzorem podanym jest wzór na kombinacje z powtórzeniami \(\displaystyle{ n+k-1 \choose k}\)

Stąd moje pytanie, jaka jest różnica między rozmieszczeniami nieuporządkowanymi, a kombinacjami z powtórzeniami
Mruczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1114
Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 157 razy

Re: Kombinacje z powtórzeniami a rozmieszczenia nieuporządko

Post autor: Mruczek »

Nie ma żadnej różnicy. Po prostu literki w jednym i drugim wzorze muszą odpowiadać temu samemu, żeby zachodziła równość.

Podany wzór na kombinacje z powtórzeniami odpowiada \(\displaystyle{ k}\)-kombinacjom ze zbioru \(\displaystyle{ n}\) - elementowego.
Takiej kombinacji odpowiada rozmieszczenie \(\displaystyle{ k}\) elementów w \(\displaystyle{ n}\) pudełkach, a nie na odwrót, czyli \(\displaystyle{ {n + k - 1\choose n - 1} = {n+k-1 \choose k}}\)
PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Re: Kombinacje z powtórzeniami a rozmieszczenia nieuporządkowane

Post autor: PR713 »

Zmieniłeś w symbolu Newtona k-1 na "n-1" Natomiast mu chodziło o ten właśnie wzór Kombinacje z powtórzeniami. - Autor postu błędnie napisał k-1 zamiast n-1, natomiast Mruczek poprawnie, jeszcze wyjaśnienie problemu rozpisane przedstawiam poniżej w cytacie
Zatem czym to się różni?
Przecież jeśli chcemy obliczyć na ile sposobów możemy 5 osób usadowić w 10 wagonach to mamy \(\displaystyle{ {10+5-1\choose 10-1} }\) zatem mamy właśnie ten wzór który wyżej napisałeś w swoim poście, bo mamy "coś po "n-1" " lub zamiennie "coś po "k" ".
Lecz dla tego zadania z linku, dlaczego jest to inny wzór?

Zatem dlaczego dla osób i wagonów stosujemy ten \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k} = {n+k-1 \choose n-1} }\)
Natomiast tutaj \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1} }\)

Dodano po 58 minutach 58 sekundach:
PR713 pisze: 21 maja 2022, o 16:37
Dobra kumam, to jest ten sam wzór, błąd oznaczeń w zamianie n oraz k, ciąg długości k+n-1, n-1 przegródek, w tym zadaniu z linku mamy k = 10, n = 5 szufladek, czyli kula_1 + k_2 +...k_5 = 10, natomiast z wagonami
w_1+...w_10 = 5 i tutaj k = 5, n = 10, więc mamy w symbolu Newtona kolejno \(\displaystyle{ {10+5-1 \choose 5-1} }\) z szufladkami oraz \(\displaystyle{ {5+10-1 \choose 10-1} }\) a to znów przekształcając z własności \(\displaystyle{ {n\choose k} = {n \choose n-k} }\) otrzymamy
\(\displaystyle{ {10+5-1 \choose 10} }\) z szufladkami oraz \(\displaystyle{ {5+10-1 \choose 5} }\)

Zatem co do zgodności oznaczeń mamy \(\displaystyle{ {k+n-1 \choose n-1} = {k+n-1 \choose k} }\), zatem wszystko jest dobrze 😅
ODPOWIEDZ