Witam proszę o pomoc w wyprowadzeniu funkcji tworzącej w postaci zwartej dla ciągu
\(\displaystyle{ \langle 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4 ..... \rangle}\)
Wyznaczyć funkcję tworzącą ciągu
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wyznaczyć funkcję tworzącą ciągu
Przy jednomianie w potędze \(\displaystyle{ 2n-1}\) będzie stał wyraz \(\displaystyle{ n}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2\dots}\) (przy pozostałych zera), więc możemy to zapisać jako
\(\displaystyle{ G(x)= \sum_{n=1}^{ \infty }nx^{2n-1}=\frac 1 2 \sum_{n=1}^{ \infty }2n x^{2n-1}=\\=\frac 1 2 \sum_{n=1}^{ \infty }\left( x^{2n}\right)'=\frac 1 2\left( \sum_{n=1}^{ \infty }x^{2n} \right)'=\dots}\)
skorzystałem z twierdzenia o różniczkowaniu szeregów potęgowych. Sorry, bo wcześniej źle napisałem. -- 5 cze 2017, o 20:49 --Natomiast gdybyśmy numerowali od zera, tj. \(\displaystyle{ a_0=1, a_1=0, a_2=2}\) itd.
to wyszłoby trochę inaczej:
\(\displaystyle{ a_{2n}=n+1, a_{2n+1}=0}\) dla \(\displaystyle{ n=0,1,2\dots}\)
i wtedy byśmy otrzymali
\(\displaystyle{ G(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }(n+1)x^{2n}}\)
co liczy się podobnie.
\(\displaystyle{ G(x)= \sum_{n=1}^{ \infty }nx^{2n-1}=\frac 1 2 \sum_{n=1}^{ \infty }2n x^{2n-1}=\\=\frac 1 2 \sum_{n=1}^{ \infty }\left( x^{2n}\right)'=\frac 1 2\left( \sum_{n=1}^{ \infty }x^{2n} \right)'=\dots}\)
skorzystałem z twierdzenia o różniczkowaniu szeregów potęgowych. Sorry, bo wcześniej źle napisałem. -- 5 cze 2017, o 20:49 --Natomiast gdybyśmy numerowali od zera, tj. \(\displaystyle{ a_0=1, a_1=0, a_2=2}\) itd.
to wyszłoby trochę inaczej:
\(\displaystyle{ a_{2n}=n+1, a_{2n+1}=0}\) dla \(\displaystyle{ n=0,1,2\dots}\)
i wtedy byśmy otrzymali
\(\displaystyle{ G(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }(n+1)x^{2n}}\)
co liczy się podobnie.