Niech \(\displaystyle{ a_n=\left\{\begin{array}{ll} -1, &n=0;\\1, & n=1;\\10a_{n-1}-21a_{n-2}, & n\geq2.\end{array}\right.}\)
Znajdź wzór zwarty. Oszacuj, ile cyfr ma w zapisie dziesiętnym liczba \(\displaystyle{ a_{1000}}\).
Bardzo proszę o pomoc.
Znajdź wzór zwarty
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Znajdź wzór zwarty
Dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) mamy
\(\displaystyle{ a_n=10a_{n-1}-21a_{n-2}}\)
Równanie charakterystyczne: \(\displaystyle{ t^2-10t+21=0}\)
Jego pierwiastki (normalnie liczysz deltę itd. albo sprowadzasz do postaci kanonicznej i korzystasz ze wzoru na różnicę kwadratów): \(\displaystyle{ t_1=3, t_2=7}\)
Zatem dla pewnych stałych \(\displaystyle{ C_1, C_2}\) mamy
\(\displaystyle{ a_n =C_1 \cdot 3^n+C_2 \cdot 7^n}\)
Stałe \(\displaystyle{ C_1, C_2}\) wyliczasz, wstawiając kolejno \(\displaystyle{ n=0, n=1}\)
i rozwiązując powstały układ dwóch równań. Jak się zdaje,
\(\displaystyle{ C_1=-2, C_2=1}\)
więc \(\displaystyle{ a_n=-2 \cdot 3^n+7^n}\)
Można również łatwo rozwiązać to zadanie z użyciem funkcji tworzących.
\(\displaystyle{ a_n=10a_{n-1}-21a_{n-2}}\)
Równanie charakterystyczne: \(\displaystyle{ t^2-10t+21=0}\)
Jego pierwiastki (normalnie liczysz deltę itd. albo sprowadzasz do postaci kanonicznej i korzystasz ze wzoru na różnicę kwadratów): \(\displaystyle{ t_1=3, t_2=7}\)
Zatem dla pewnych stałych \(\displaystyle{ C_1, C_2}\) mamy
\(\displaystyle{ a_n =C_1 \cdot 3^n+C_2 \cdot 7^n}\)
Stałe \(\displaystyle{ C_1, C_2}\) wyliczasz, wstawiając kolejno \(\displaystyle{ n=0, n=1}\)
i rozwiązując powstały układ dwóch równań. Jak się zdaje,
\(\displaystyle{ C_1=-2, C_2=1}\)
więc \(\displaystyle{ a_n=-2 \cdot 3^n+7^n}\)
Można również łatwo rozwiązać to zadanie z użyciem funkcji tworzących.