Ktoś ma jakieś sugestie jak liczyć takie sumy
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} ,
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2^n} ,
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} ,
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3}{2^n}}\) ?
Ten pierwszy wiem, natomiast zastanawiam się jak liczyć następne. Grupując odpowiednio wyrazy? Korzystając z szeregów Fouriera? Sprawdziłem sobie i wiem, że suma tego drugiego też jest równa 2. Zaciekawiło mnie to.
Sumy szeregów
Re: Sumy szeregów
Niech \(\displaystyle{ S(n):=\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{2^k}}\). Z Cauchy'ego szereg zbiega. Wiemy, że \(\displaystyle{ S(0)=2}\).
\(\displaystyle{ S(1)=2S(1)-S(1)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^k}=S(0)=2}\)
Podobnie \(\displaystyle{ S(2)=2S(2)-S(2)=\sum_{k=0}^\infty\frac{2k+1}{2^k}=2S(1)+S(0)=6}\)
oraz \(\displaystyle{ S(3)=2S(3)-S(3)=\sum_{k=0}^\infty \frac{3k^2+3k+1}{2^k}=3S(2)+3S(1)+S(0)=26}\)
I tak dalej dla każdej wyższej potęgi.
\(\displaystyle{ S(1)=2S(1)-S(1)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^k}=S(0)=2}\)
Podobnie \(\displaystyle{ S(2)=2S(2)-S(2)=\sum_{k=0}^\infty\frac{2k+1}{2^k}=2S(1)+S(0)=6}\)
oraz \(\displaystyle{ S(3)=2S(3)-S(3)=\sum_{k=0}^\infty \frac{3k^2+3k+1}{2^k}=3S(2)+3S(1)+S(0)=26}\)
I tak dalej dla każdej wyższej potęgi.