Rownania diofantyczne

[Kuber19]

Witam, mam problem z zadaniem: Ile różnych rozwiązań posiada równanie diofantyczne.
\(\displaystyle{ x_{1}+ x_{2}+... x_{6} = 10000, x_{i} \ge i^{2}, i={1..6}}\).
Ogólnie jak były krótsze to rozwiązywałem, z funkcji tworzących, ale jeśli suma jest większa to nie mam pomysłu jak to zrobić. Jak ogólnie rozwiązuje sie takie równania?

[kerajs]

\(\displaystyle{ (0+k_1)+(3+k_2)+(8+k_3)+(15+k_4)+(24+k_5)+(35+k_6)=10000\\
k_1+k_2+k_3+k_4+k_5+k_6=9915}\)
Należy wybrać 5 luk z dostępnych 9914 luk między liczbami 1,1,1,1...1,1 (9915 jedynek) otrzymując jedno z rozwiązań.
\(\displaystyle{ ilosc \ rozwiazan= {9914 \choose 5}}\)

[Kuber19]

Jeśli można spytać, to nie za bardzo rozumiem, skąd są te luki i jak je rozumieć.

[kerajs]

Założenie: \(\displaystyle{ x_{i} \ge i^{2}, i={1..6}}\) narzuca warunki na niewiadome w rozwiązaniu:
\(\displaystyle{ \left( x_1 \ge 1\right) \wedge \left( x_2 \ge 4\right) \wedge ... \wedge \left( x_6 \ge 36\right)}\)
Aby taki sam warunek dotyczył wszystkich niewiadomych podstawiłem: \(\displaystyle{ x_i=i^2-1+k_i}\)
co daje nowe równanie:
\(\displaystyle{ (0+k_1)+(3+k_2)+(8+k_3)+(15+k_4)+(24+k_5)+(35+k_6)=10000\\
k_1+k_2+k_3+k_4+k_5+k_6=9915}\)
przy wspólnym warunku: \(\displaystyle{ k_i \ge 1}\), ale dokładnie takiej samej liczbie rozwiązań.

Należy wybrać 5 luk z dostępnych 9914 luk między liczbami 1,1,1,1...1,1 (9915 jedynek) otrzymując jedno z rozwiązań.
\(\displaystyle{ ilosc \ rozwiazan= {9914 \choose 5}}\)

Liczbę 9915 traktuję jak ciąg 1,1,1,1...1,1 (9915 jedynek), [albo pasek z 9915 kratkami/dziurkami, albo korale z 9915 koralikami]. Ilość rozwiązań to ilość możliwych podziałów tego ciągu na 6 mniejszych ciągów (pocięć paska na 6 mniejszych, pocięcia sznura korali na 6 sznurów). Podziału(cięcia) mogę dokonać tylko w luce miedzy jedynkami, w miejscu przecinka w ciągu (wzdłuż boku kratki, miedzy kolejnymi koralikami). Wybór 5 miejsc podziału /cięcia z możliwych 9914 luk/itd to ilość rozwiązań równania w liczbach naturalnych dodatnich.

Jak ogólnie rozwiązuje sie takie równania?

Nie wiem.
Zwykle zadania można rozwiązywać różnymi sposobami i każdy stosuje metody w których dobrze się czuje lub te które właśnie przyjdą mu na myśl (a które niekoniecznie są najszybsze/ efektywne/ eleganckie/ itp).

[Kuber19]

Ok dziękuje, rozumiem.