Rozwiazanie rekurencji

[yooko34]

Witam
Mam problem z rozwiązaniem równania rekurencyjnego \(\displaystyle{ a_{n} = 3 a_{n-1} - 2a_{n-1}}\) gdzie
\(\displaystyle{ a_0 =-1 , a_1 = 1}\) i tutaj się zaczyna problem. Równanie charakterystyczne ma postać \(\displaystyle{ x-1=0}\) i jak wezmę \(\displaystyle{ a_0 = -1}\) to rozwiązaniem tej rekurencji jest \(\displaystyle{ (-1)^{n}}\)
co nie pasuje dla \(\displaystyle{ a_1}\). Mógłby ktoś mi pomóc z tym zadaniem ?

[JakimPL]

Wygląda mi to na literówkę; z warunków początkowych wnioskuję, że równanie jest drugiego rzędu:

\(\displaystyle{ a_{n} = 3 a_{n-1} - 2a_{n-2}}\)

Ukryta treść:    

Dla takiego równania rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a_n=2^{n+1}-3}\). Dla równania \(\displaystyle{ a_{n} = 3 a_{n-2} - 2a_{n-1}}\) mamy natomiast \(\displaystyle{ a_n=-\frac{1}{2}\left((-3)^n+1\right)}\).

[yooko34]

Może i to literówka to jest zadanie przygotowawcze do kolokwium, to oznacza że wykładowca się niestety pomylił. Mam jeszcze jedno równanie z którym mam problem \(\displaystyle{ a_n = a_{n-1}+2a_{n-2} + 2^n}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_0 = 3 , a_1=-1}\) i tutaj \(\displaystyle{ 2}\) jest rozwiązaniem części jednorodnej \(\displaystyle{ a_n=C_1*2^n + C_2*(-1)^n,i, f(n)=2^n}\) i wyczytałem gdzieś, że wtedy funkcja tworząca ma rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ a_n = n^kA \beta ^n}\) gdzie \(\displaystyle{ k}\) to krotność pierwiastka a \(\displaystyle{ \beta =2}\) i nie bardzo mogę to rozwiązać wiem że rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ a_n=C_1*2^n+C_2*(-1)^n + f(n)}\) i dalej nie wiem co zrobić

[JakimPL]

Przewidujemy rozwiązanie szczególne jako \(\displaystyle{ a_n=A n 2^n}\) (bo krotność pierwiastka \(\displaystyle{ 2}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\)). Podstawiając to rozwiązanie szczególne:

\(\displaystyle{ A n 2^n = A (n-1) 2^{n-1}+2 A (n-2)2^{n-2}+2^n}\)

Wyłączając najmniejszą potęgę \(\displaystyle{ 2^{n-2}}\) z całości, uzyskujemy:

\(\displaystyle{ 4 A n 2^{n-2} = 2 \cdot A (n-1) 2^{n-2} + 2 \cdot A(n-2)2^{n-2} + 4 \cdot 2^{n-2}}\)

możemy podzielić stronami przez \(\displaystyle{ 2^{n-2}}\):

\(\displaystyle{ 4 A n = 2 A (n-1) + 2 A(n-2) + 4}\)

Upraszczając:

\(\displaystyle{ 4 A n = 2 A n - 2 A + 2 A n -4 A +4}\)

Składniki z \(\displaystyle{ A n}\) się uproszczą, pozostaje:

\(\displaystyle{ A = \frac{2}{3}}\).

Ponieważ rozwiązanie jest sumą rozwiązania ogólnego i szczególnego:

\(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{3} \left(7\cdot (-1)^n+2 \cdot 2^{n}\right) + \frac{2}{3} \cdot n \, 2^n}\)

Istnieje ogólniejsza metoda rozwiązywania tego typu równania, ale jest żmudna (a'la uzmiennianie stałej w równaniach różniczkowych).

[yooko34]

Dzięki ! Już rozumiem

-- 31 maja 2017, o 21:09 --

Przewidujemy rozwiązanie szczególne jako \(\displaystyle{ a_n=A n 2^n}\) (bo krotność pierwiastka \(\displaystyle{ 2}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\)). Podstawiając to rozwiązanie szczególne:

\(\displaystyle{ A n 2^n = A (n-1) 2^{n-1}+2 A (n-2)2^{n-2}+2^n}\)

Wyłączając najmniejszą potęgę \(\displaystyle{ 2^{n-2}}\) z całości, uzyskujemy:

\(\displaystyle{ 4 A n 2^{n-2} = 2 \cdot A (n-1) 2^{n-2} + 2 \cdot A(n-2)2^{n-2} + 4 \cdot 2^{n-2}}\)

możemy podzielić stronami przez \(\displaystyle{ 2^{n-2}}\):

\(\displaystyle{ 4 A n = 2 A (n-1) + 2 A(n-2) + 4}\)

Upraszczając:

\(\displaystyle{ 4 A n = 2 A n - 2 A + 2 A n -4 A +4}\)

Składniki z \(\displaystyle{ A n}\) się uproszczą, pozostaje:

\(\displaystyle{ A = \frac{2}{3}}\).

Ponieważ rozwiązanie jest sumą rozwiązania ogólnego i szczególnego:

\(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{3} \left(7\cdot (-1)^n+2 \cdot 2^{n}\right) + \frac{2}{3} \cdot n \, 2^n}\)

Istnieje ogólniejsza metoda rozwiązywania tego typu równania, ale jest żmudna (a'la uzmiennianie stałej w równaniach różniczkowych).

Czy jest to aby na pewno dobre rozwiązanie?
jeżeli wstawie \(\displaystyle{ a_1}\) to nie rowna sie to z warunakmi poczatkowymi gdzie \(\displaystyle{ a_1=-1}\)

[Mariusz M]

Funkcje tworzące (geometryczna tzw zwykła i wykładnicza)
są wygodniejsze

[JakimPL]

Och, racja, wstawiłem stare współczynniki \(\displaystyle{ c_1}\), \(\displaystyle{ c_2}\); po wyznaczeniu postaci równania

\(\displaystyle{ a_n = c_1 (-1)^n+c_2 2^{n}\right) + \frac{2}{3} \cdot n \, 2^n}\)

należy podstawić \(\displaystyle{ n=0,1}\) i wyznaczyć odpowiadające temu ogólnemu rozwiązaniu współczynniki \(\displaystyle{ c_1=\tfrac{25}{9}}\), \(\displaystyle{ c_2=\tfrac\frac{2}{9}}\), powinno się zgadzać.