Liczba rozwiązań funkcji tworzacej

[buszmen201]

Zadanie 1. Wyznacz przy pomocy funkcji tworzących liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4=k}\) przy pomocy następujących ograniczeniach: \(\displaystyle{ x_1=\left\{ 0, 2, 4\right\}}\), \(\displaystyle{ x_2=2}\), \(\displaystyle{ x_3=\left\{0, 1, 2\right\}}\), \(\displaystyle{ x_4=\left\{ 1, 2\right\}}\). Ile rozwiązań ma dla \(\displaystyle{ k=5}\)?

Wyznaczyłem funkcję tworzącą
\(\displaystyle{ f(x)=\left( 1+x^2 + x^4\right) \cdot x^2 \cdot \left( 1+x + x^2\right) \cdot \left( x + x^2\right)}\)
ale nie wiem co dalej z nią mam zrobić

Z góry dziękuję.

[Cytryn]

Wymnożyć, znaleźć współczynnik przy \(\displaystyle{ x^5}\). W poleceniu równości wypadałoby zastąpić znakiem \(\displaystyle{ \in}\).

[buszmen201]

Dziękuję oto chodziło. Treść przepisałem słowo w słowo jak na ćwiczeniach dał

I jeszcze mam pytanie co do innego zadania:
Na ile sposobów można rozmieścić 28 identycznych kul w pięciu (rozróżnialnych) szufladkach, jeżeli pierwsza szufladka może zawierać co najwyżej dziewięć kul, a pozostałe mogą zawierać dowolną liczbę kul.
\(\displaystyle{ a \right)}\) zadanie zrób z pomocą funkcji tworzących
\(\displaystyle{ b \right)}\) bez pomocy funkcji tworzących

\(\displaystyle{ a \right)}\) Mam coś takiego i dalej nie wiem

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \left( 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9 \right) \left( 1+x+x^2+ \ldots \right) ^4 = \frac{1-x^{9+1}}{1-x} \cdot \left( \frac{1}{1-x} \right) ^4 = \left( 1-x^{10} \right) \cdot \frac{1}{ \left( 1-x \right) ^5}= ?}\)

[FrostEvil]

Wymnożyć, znaleźć współczynnik przy \(\displaystyle{ x^5}\). W poleceniu równości wypadałoby zastąpić znakiem \(\displaystyle{ \in}\).

Dlaczego akurat współczynnik przy \(\displaystyle{ x^5}\) ? Wiem, że rozwiązując tego typu zadania tak robimy ale nie wiem skąd to się bierze. Mógłby ktoś wytłumaczyć?