Rownanie rekurencyjne

[FocuSsmok07]

Witam!

Mam problem z zadaniem z Matematyki Dyskretnej, a dokładniej tak jak w temacie równanie rekurencyjne.
Oto zadanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} d_{n} = d_{n-1} + (n - 2), &\text{dla } n \ge 5\\ d_{4} = 2 \end{cases}}\)

a) Elementarnie "manipulując" odpowiednim podanym wzorem.
b) stosując wzór na rozwiązanie równania \(\displaystyle{ a_{n}T_{n} = b_{n}T_{n-1} + c_{n}, n \in N, T_{0}-
dane}\)

Mógłby ktoś łopatologicznie wyjaśnić jak rozwiązać to zadanie, najlepiej krok po kroku, ponieważ nie wiem jak to rozwiązać. Szczególnie zależy mi na podpunkcie b). Z góry dziękuje.

[Premislav]

a) wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ d_{n}-d_{n-1}=n-2}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 5}\)
i możemy zapisać (dodajemy i odejmujemy odpowiednie wyrazy):
\(\displaystyle{ d_n=d_{n}-d_{n-1}+d_{n-1}-d_{n-2}+\dots+d_5 -d_4+d_4=(n-2)+(n-3)+\dots+3+d_4=\\=2+3+\dots+(n-2)= \frac{n(n-3)}{2}}\)
Zastosowałem wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Wyrazów jest \(\displaystyle{ n-3}\), pierwszy z nich wynosi \(\displaystyle{ 2}\), a ostatni jest równy \(\displaystyle{ n-2}\).
b) Jak mniemam, jest to coś, co pojawiło się u Ciebie na zajęciach. Ja niczego takiego nie kojarzę. Mógłbyś ten wzór podać?-- 22 maja 2017, o 15:34 --To zadanie można rozwiązać również z użyciem funkcji tworzących, natomiast naprawdę nie kojarzę żadnego ogólnego wzorku.

[FocuSsmok07]

a) wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ d_{n}-d_{n-1}=n-2}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 5}\)
i możemy zapisać (dodajemy i odejmujemy odpowiednie wyrazy):
\(\displaystyle{ d_n=d_{n}-d_{n-1}+d_{n-1}-d_{n-2}+\dots+d_5 -d_4+d_4=(n-2)+(n-3)+\dots+3+d_4=\\=2+3+\dots+(n-2)= \frac{n(n-3)}{2}}\)
Zastosowałem wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Wyrazów jest \(\displaystyle{ n-3}\), pierwszy z nich wynosi \(\displaystyle{ 2}\), a ostatni jest równy \(\displaystyle{ n-2}\).
b) Jak mniemam, jest to coś, co pojawiło się u Ciebie na zajęciach. Ja niczego takiego nie kojarzę. Mógłbyś ten wzór podać?

\(\displaystyle{ a_{n}T_{n} = b_{n}T_{n-1} + c_{n}, n \in N, T_{0}-
dane}\)
Ma rozwiązanie dane wzorem: \(\displaystyle{ T_{n} = \frac{1}{s_{n}a_{n}}\left\{ s_{1}b_{1}T_{0} + \sum_{k=1}^{n} {c_{k}s_{k}}\right\}, n \in N, \text gdzie \\s_{n}= \frac{a_{1}a_{2}...a_{n-1}}{b_{2}b_{3}...b_{n}}, n \ge 2}\)

[Premislav]

No to wystarczy przesunąć indeksy i podstawić do wzoru (swoją drogą chętnie bym zobaczył wyprowadzenie).

U Ciebie \(\displaystyle{ d_{n}=d_{n-1}+n-2, n \ge 5}\),
mamy \(\displaystyle{ a_n \equiv 1, b_n \equiv 1, s_n \equiv 1, c_n=n-2}\)
Mamy dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\) coś takiego:
\(\displaystyle{ d_n=2+ \sum_{k=5}^{n} (k-2)=2+ \sum_{k=3}^{n-2}k= \sum_{k=2}^{n-2}k= \frac{n(n-3)}{2}}\)
dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\).

[FocuSsmok07]

No to wystarczy przesunąć indeksy i podstawić do wzoru (swoją drogą chętnie bym zobaczył wyprowadzenie).

U Ciebie \(\displaystyle{ d_{n}=d_{n-1}+n-2, n \ge 5}\),
mamy \(\displaystyle{ a_n \equiv 1, b_n \equiv 1, s_n \equiv 1, c_n=n-2}\)
Mamy dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\) coś takiego:
\(\displaystyle{ d_n=2+ \sum_{k=5}^{n} (k-2)=2+ \sum_{k=3}^{n-2}k= \sum_{k=2}^{n-2}k= \frac{n(n-3)}{2}}\)
dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\).

Dziękuje bardzo za pomoc!