Równanie rekurencyjne niejednorodne

[slimakslimak]

Jakie powinno być rozwiązanie szczegółowe?
Mam do rozwiązania takie równanie: \(\displaystyle{ a_{0}=-1, \quad a_{1}=5, \quad a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_{n}=n-4 \newline}\)
Rozwiązanie ogólne:
\(\displaystyle{ a_{n}^{0}=c_{1} \cdot 2^{n}+c_{2} \cdot n \cdot 2^{n}}\)
Rozwiązanie szczegółowe:
\(\displaystyle{ a_{n}^{s}=An+B}\) czy moze powinno być \(\displaystyle{ a_{n}^{s}=n^{2}(An+B)}\)

[jutrvy]

Napisz funkcję tworzącą, to się powinno ładnie rozwinąć, wyjdą ułamki, które łatwo rozwinąć w szereg potęgowy.

[slimakslimak]

Właśnie metodą funkcji tworzących umiem zrobić, ale muszę znać też tę metodę z przewidywaniem.

[Mariusz M]

Część niejednorodna jest wielomianem więc patrzysz ilukrotnym pierwiastkiem
równania charakterystycznego jest jedynka
Twoja druga propozycja byłaby poprawna gdyby
jedynka była dwukrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego

jutrvy, i właśnie dlatego lubię funkcje tworzące (geometryczną tzw zwykłą oraz wykładniczą)
do równań liniowych bo wystarczy je wstawić do równania i równanie samo się rozwiązuje
Co prawda trzeba czasem skorzystać z różniczkowania sumy szeregu geometrycznego
bądź dwumianu Newtona albo wzoru Leibniza na pochodną iloczynu
ale i tak funkcje tworzące są wygodniejsze

[jutrvy]

Wiadomka, tworzące żądzą

[nazkord]

Dla upewnienia się chciałbym się spytać, że:

1. Jeżeli mamy dwukrotny bądź n-krotny (n>2) pierwiastek równania charakterystycznego, który jest różny od jedynki to postać szczegółową (którą przewidujemy) nie mnożymy przez nic?

2. Jeżeli ten pierwiastek jest jedynką, to wtedy postać szczegółową (niejednorodną) mnożymy przez n do potęgi k (gdzie k jest krotnością wystąpień jedynki jako pierwiastka równania charakterystycznego)?

Z góry dziękuję za odpowiedź.

[Mariusz M]

To na jaki pierwiastek równania charakterystycznego patrzymy zależy od części niejednorodnej.

Jeśli częścią niejednorodną jest wielomian, to patrzymy na jedynkę.
Jeśli częścią niejednorodną jest wielomian pomnożony przez \(\displaystyle{ a^n}\), to patrzymy na to ilukrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego jest \(\displaystyle{ a}\).

Jak wcześniej napisałem, mimo iż może wydawać się, że funkcje tworzące wymagają więcej
obliczeń, to są wygodniejsze w użyciu.