Kilka zadan

[chrupek97]

Cześć. Mam problem z kilkoma zadaniami z kombinatoryki, bo kompletnie nie wiem jak je zrobić. Mam nadzieje ze jakoś mi pomożecie

1. \(\displaystyle{ 20}\) studentów ma odbyć praktykę pracując na każdym z sześciu różnych stanowisk oraz na każdej z dwóch zmian. Ile dni będzie trwała praktyka?

2. Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr liczby \(\displaystyle{ 135135}\)?

3. W ciągu roku klient ma spłacić \(\displaystyle{ 6}\) równych rat miesięcznych. Iloma sposobami może to uczynić?

4. le jest różnych rozmieszczeń \(\displaystyle{ n}\) ponumerowanych kul w \(\displaystyle{ n}\) ponumerowanych komórkach w których:
a)wszystkie komórki są zajęte,
b)co najmniej jedna komórka jest pusta,
c)dokładnie jedna komórka jest pusta?

[kerajs]

1)
\(\displaystyle{ \frac{20 \cdot 6}{12}}\)
2)
\(\displaystyle{ \frac{4!}{2!2!}+ \frac{4!}{2!}}\)
3)
\(\displaystyle{ {12 \choose 6}}\)
4)
a)
\(\displaystyle{ n!}\)
b)
\(\displaystyle{ n^n-n!}\)
c)
\(\displaystyle{ n! {n \choose 2}}\)

[chrupek97]

A dlaczego w pierwszym zadaniu tak??
Nie powinno byc 20 po 6 *2??

[kerajs]

Każdy ze studentów ma przepracować 6 'dniówek'. Jednego dnia może przyjść 12 studentów, po 6 na każdej zmianie.
Stąd:
20 studentów x 6 dniówek/ 12 studentów=10 dni.
Zakładam, że grafik można tak ułożyć aby udało się przeprowadzić praktyki w wyliczone 10 dni.

[chrupek97]

To jeszcze jedno:
Ile jest permutacji liczb 1,2,...,n w których
a)1,2 nie sąsiadują ze sobą,
b)1,2,3 nie tworzą kolejnych wyrazów

[kerajs]

a)
Wersja I)
Pozostałe liczby permutują na \(\displaystyle{ (n-2)!}\) sposobów. Jest \(\displaystyle{ n-3}\) miejsc miedzy nimi oraz po jednym przed i za nimi. Liczby 1 i 2 mogą wybrać te miejsca na \(\displaystyle{ (n-1)(n-2)}\) sposobów. Stąd liczba możliwości sytuacji a): \(\displaystyle{ (n-2)!(n-1)(n-2)=(n-1)!(n-2)}\)
Wersja II)
Od wszystkich możliwości odejmuję te gdzie 1,2 są obok siebie.
\(\displaystyle{ n!-(n-1)!2!=(n-11)!n-(n-1)!2=(n-1)!(n-2)}\)

b)
Spróbuj rozwiązać samodzielnie.