Korzystając z funkcji tworzących rozwiąż równania rekrurenc.

[Akiro]

\(\displaystyle{ a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_{n}, a_{0}=0, a_{1}=1}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n}x^{n} = a_{0}x^{0} + a_{1}x^{1}+ \sum_{n=0}^{ \infty } (a_{n+2}x^{n+2})= a_{0}x^{0} + a_{1}x^{1}+ x^{2}\sum_{n=0}^{ \infty } (2a_{n+1}-a_{n})x^{n} = 0+x+x^{2}+...}\)

w tym momencie nie wiem za bardzo co dalej zrobić

[Premislav]

Nie bardzo rozumiem. Ja bym to robił tak:
\(\displaystyle{ a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_{n}\\ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}x^n=2\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}x^n-\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^n}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^n}\)
Wtedy widzimy, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}\left( G(x)-a_0-a_1 x\right)= \frac{2}{x}(G(x)-a_0)-G(x)}\)
czyli po przekształceniach:
\(\displaystyle{ G(x)= \frac{a_0+(a_1-2a_0)x}{(1-x)^2}= \frac{x}{(1-x)^2}}\)
Rozwijamy to w szereg potęgowy i mamy
\(\displaystyle{ G(x)= \sum_{n=1}^{ \infty }nx^n= \sum_{n=0}^{ \infty }nx^n}\)
czyli \(\displaystyle{ a_n=n}\).