Funkcja tworząca ciągu n^k

[MelancholicMan]

Hej, dzisiaj robiłem sobie zadanie, gdzie muszę znaleźć funkcję towrzącą ciągu \(\displaystyle{ a_{n}=n^{k}, n=0,1,2,...}\). Ogólnie doszedłem do tego, że w kolejnych potęgach będę mieć wielomian o współczynnikach np. dla k=3: 1, 4, 1, dla k=4: 1, 11, 11, 1. Znalazłem na wikipedii, że to reprezentacja kolejnych wierszy od 0 do k-1 dla k-tego wiersza trójkąta liczby Eulera 1 rzędu. Problem polega na tym, że nie mieliśmy czegoś takiego na zajęciach. Czy da się zapisać tą funkcję tworzącą bez zapisu liczby Eulera?

Moja odpowiedź to \(\displaystyle{ F(x)= \frac{x}{ (1-x)^{k+1} } \cdot \sum_{i=0}^{k-1} \left\langle \frac{k}{i} \right\rangle x^{i}}\). Nie wiedziałem jak zapisać liczbę Eulera tu w texu, nie powinno być tej kreski ułamkowej pomiędzy.

[jutrvy]

A tego jakoś formalną całką, czy formalną pochodną nie można rąbnąć?

Umiesz policzyć taką sumę, nie? \(\displaystyle{ \sum_n nX^n}\),

A taką? \(\displaystyle{ \sum_n n^2 x^n}\).

itp.