Małe twierdzenie dotyczące liczb Bernoulliego

[drempi]

To małe twierdzenie brzmi:

Ustalmy liczby \(\displaystyle{ c_{i, j}}\) określone wzorem rekurencyjnym:

\(\displaystyle{ \sum_{j = 0}^{b}{c_{a, j} {a + b + 1 \choose j + a}} = -1 \ \ \ \ \ a, b \ge 0 \ \ \ a, b \in \NN}\)

Zachodzi wtedy:

\(\displaystyle{ c_{a, b} = \frac{-1}{a + b + 1} \sum_{n = 0}^{b} {B_{n} {a + b + 1 \choose n}} \ \ \ \ \ a, b \ge 0 \ \ \ a, b \in \NN}\)

Gdzie \(\displaystyle{ B_{1} = \frac{-1}{2}}\)



Dowód tego małego twierdzenia nie jest trudny i opiera się na udowodnieniu równości:

\(\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{b} { {a + b + 1 \choose a + i} \frac{1}{a + i + 1} \sum_{n = 0}^{i} {B_{n} {a + i + 1 \choose n}}}} = 1 \ \ \ \ \ a, b \ge 0 \ \ \ a, b \in \NN}\)

To wszystko w tym poście - po prostu to małe twierdzenie.