Ciąg rekurencyjny- wyznacz wzór jawny, udowodnij wzór oblicz

[sierpa]

(a) Ciąg \(\displaystyle{ C_{n}, n\in\NN}\), określony jest wzorem rekurencyjnym:
\(\displaystyle{ \begin{cases} C_{1} = -1 \\ C_{n} = - \frac{1}{n} C_{n-1}&\mbox{dla }n\ge 2 \end{cases}}\)

Wyznacz wzór jawny dla \(\displaystyle{ C_{n}}\),

(b) Ciąg \(\displaystyle{ B_{n}, n\in\NN_{0}}\), określony jest wzorem
\(\displaystyle{ \begin{cases} B_{0}=1 \\ B_{n}-B_{n-1}=C_{n}&\mbox{dla }n\in\NN \end{cases}}\)

Udowodnić, że : \(\displaystyle{ B_{n}= \sum_{k=2}^{n} \frac{(-1) ^{k} }{k!}}\). Obliczyć \(\displaystyle{ B_1, B_2, B_3, B_4}\).

Podpunkt A zrobiłem:
Policzyłem dla :
\(\displaystyle{ C_{2}= \frac{-1}{2}C_{1} ,\\
C_{3}= \frac{-1}{3}C_{2} ,\\
C_{n-1}= \frac{-1}{cn-1}C_{n-2} ,\\
C_{n}= \frac{-1}{cn}C_{n-1}}\),

Pomnożyłem stronami i otrzymałem wzór:

\(\displaystyle{ C_{n}= \frac{(-1)^{n-1} \cdot (-1) }{n!} = \frac{(-1)^{n} }{n!}}\)

Ale jak mam ugryźć część B zadania.
Proszę o podpowiedź.

[Pakro]

Rozpisz:

\(\displaystyle{ B_n=B_n-B_{n-1}+B_{n-1}+B_{n-2}-...+B_{0}}\)

[sierpa]

Dziękuję za podpowiedź, Gdy sprawdzę poprawną odpowiedź to dam znać (ku potomnym)