\(\displaystyle{ a_{0}=1 , a_{n}=2 a_{n-1} +3}\)
Rozwiązanie ogólne chyba będzie miało postać
\(\displaystyle{ a_{n} = A \cdot 2 ^{n}}\)
jak wyznaczyć szczególne?
Rozwiązania szczególne równań rekurencyjnych
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Re: Rozwiązania szczególne równań rekurencyjnych
Ciąg wyznaczony przez powyższe równanie rekurencyjne jest tylko jeden.
Zacznijmy od wyznaczenia wszystkich rozwiązań równania \(\displaystyle{ a_{n}=2 a_{n-1}+3}\). Jest to równanie niejednorodne, więc zaczynamy od znalezienia rozwiązania równania jednorodnego odpowiadającemu powyższemu, tj.:
\(\displaystyle{ a_n=2a_{n-1}}\)
które istotnie ma postać \(\displaystyle{ a_n=A \cdot 2^n}\). Uzmiennimy teraz stałą \(\displaystyle{ A_n}\) (porównaj metody rozwiązywania równań różniczkowych): \(\displaystyle{ a_n=A_n 2^n}\) i wstawimy do równania:
\(\displaystyle{ A_n 2^n =2\cdot A_{n-1}2^{n-1}+3= 2^nA_{n-1}+3}\)
Uzyskujemy równanie różnicowe:
\(\displaystyle{ A_n-A_{n-1} =\frac{3}{2^n}}\)
By wyznaczyć \(\displaystyle{ A_n}\), wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ A_0=c}\) i zsumować prawą stronę; otrzymując
\(\displaystyle{ A_n=-3\cdot 2^{-n} +3+c}\)
co daje nam ogólną postać rozwiązania:
\(\displaystyle{ a_n = c \cdot 2^n+3\cdot 2^n-3}\)
By wyznaczyć \(\displaystyle{ c}\) i jedyne rozwiązanie problemu, wystarczy wstawić \(\displaystyle{ n=0}\) i porównać z warunkiem \(\displaystyle{ a_0=1}\).
To jest ogólna metoda wyznaczania rozwiązań równań rekurencyjnych poprzez równania różnicowe pierwszego rzędu. Czasami rozwiązanie można "zgadnąć", w tym wypadku
\(\displaystyle{ a_n=4\cdot 2^n-3}\)
istotnie spełnia podane warunki (i, jak łatwo się przekonać, jest jedynym rozwiązaniem).
Zacznijmy od wyznaczenia wszystkich rozwiązań równania \(\displaystyle{ a_{n}=2 a_{n-1}+3}\). Jest to równanie niejednorodne, więc zaczynamy od znalezienia rozwiązania równania jednorodnego odpowiadającemu powyższemu, tj.:
\(\displaystyle{ a_n=2a_{n-1}}\)
które istotnie ma postać \(\displaystyle{ a_n=A \cdot 2^n}\). Uzmiennimy teraz stałą \(\displaystyle{ A_n}\) (porównaj metody rozwiązywania równań różniczkowych): \(\displaystyle{ a_n=A_n 2^n}\) i wstawimy do równania:
\(\displaystyle{ A_n 2^n =2\cdot A_{n-1}2^{n-1}+3= 2^nA_{n-1}+3}\)
Uzyskujemy równanie różnicowe:
\(\displaystyle{ A_n-A_{n-1} =\frac{3}{2^n}}\)
By wyznaczyć \(\displaystyle{ A_n}\), wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ A_0=c}\) i zsumować prawą stronę; otrzymując
\(\displaystyle{ A_n=-3\cdot 2^{-n} +3+c}\)
co daje nam ogólną postać rozwiązania:
\(\displaystyle{ a_n = c \cdot 2^n+3\cdot 2^n-3}\)
By wyznaczyć \(\displaystyle{ c}\) i jedyne rozwiązanie problemu, wystarczy wstawić \(\displaystyle{ n=0}\) i porównać z warunkiem \(\displaystyle{ a_0=1}\).
To jest ogólna metoda wyznaczania rozwiązań równań rekurencyjnych poprzez równania różnicowe pierwszego rzędu. Czasami rozwiązanie można "zgadnąć", w tym wypadku
\(\displaystyle{ a_n=4\cdot 2^n-3}\)
istotnie spełnia podane warunki (i, jak łatwo się przekonać, jest jedynym rozwiązaniem).