Funkcja tworząca ciągu

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Akiro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 19 lis 2016, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 14 razy

Funkcja tworząca ciągu

Post autor: Akiro »

1. Podaj funkcje tworzące ciągów

\(\displaystyle{ c_{n} = 3^{n} , n \ge 2, c _{0} =0, c_{1} = 1}\)

Nie zależy mi na rozwiązaniu problemu tylko na wytłumaczeniu krok po kroku, na co uważać, co warto zauważyć itp. dodam, że jestem nieobeznany z zagadnieniem.
Awatar użytkownika
kinia7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 704
Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 94 razy

Re: Funkcja tworząca ciągu

Post autor: kinia7 »

\(\displaystyle{ C(x)= \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n=c_ox^0+c_1x^1+\sum_{n=2}^{\infty} 3^nx^n=0+x+\sum_{n=2}^{\infty} (3x)^n=}\)

\(\displaystyle{ =x+(3x)^2\sum_{n=2}^{\infty}( 3x)^{n-2}=x+9x^2\sum_{n=0}^{\infty}( 3x)^{n}=x+\frac{9x^2}{1-3x}\ \ \ dla\ \ x<\frac13}\)
Akiro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 19 lis 2016, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 14 razy

Re: Funkcja tworząca ciągu

Post autor: Akiro »

kinia7 pisze:\(\displaystyle{ C(x)= \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n=c_ox^0+c_1x^1+\sum_{n=2}^{\infty} 3^nx^n=0+x+\sum_{n=2}^{\infty} (3x)^n=}\)

\(\displaystyle{ =x+(3x)^2\sum_{n=2}^{\infty}( 3x)^{n-2}=x+9x^2\sum_{n=0}^{\infty}( 3x)^{n}=x+\frac{9x^2}{1-3x}\ \ \ dla\ \ x<\frac13}\)
Czy zatem kolejny przykład zrobiłem dobrze?

d) \(\displaystyle{ d_{n} = 2 ^{n} , d _{0}=2, d_{1}=-1}\)
\(\displaystyle{ D(x) = 2x ^{2} -x+ \sum_{n=2}^{ \infty }(2x)^{n} = 2x^{2}-x+4x^{2} \sum_{n=0}^{ \infty } (2x)^{n} = 2x^{2}-x+ \frac{4x^{2}}{1-2x}}\)
Awatar użytkownika
kinia7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 704
Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 94 razy

Re: Funkcja tworząca ciągu

Post autor: kinia7 »

Pierwszy składnik to \(\displaystyle{ d_ox^0=2\cdot1=2}\)

reszta dobrze
ODPOWIEDZ