Zapisz za pomocą jednego współczynnika newtonowskiego sumę:
\(\displaystyle{ {9 \choose 0}- {9 \choose 1} +{9 \choose 2} -{9 \choose 3} +{9 \choose 4}}\)
Dwumian Newtona
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Dwumian Newtona
Zauważ, że \(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}={n \choose k}}\) dla \(\displaystyle{ k, n \in \NN^+}\) i \(\displaystyle{ n \ge k+1}\).
To powinno pomóc...
To powinno pomóc...
-
Akiro
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 13:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 14 razy
Re: Dwumian Newtona
Działam na tym wzorze (troche innej wersji boPremislav pisze:Zauważ, że \(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}={n \choose k}}\) dla \(\displaystyle{ k, n \in \NN^+}\) i \(\displaystyle{ n \ge k+1}\).
To powinno pomóc...
\(\displaystyle{ {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1}}\)
Ale jakoś nie mogę tych sum połączyć w takie pary żeby wynik jednej pary z wynikiem z drugiej pary się sumował dalej, tzn.
\(\displaystyle{ -({9 \choose 0} + {9 \choose 1}) -({9 \choose 2} + {9 \choose 3}) + {9 \choose 4}}\) itd..
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Dwumian Newtona
Można też pokombinować z
\(\displaystyle{ 0^9=(-1+1)^9}\), własnością \(\displaystyle{ {n \choose k}={n \choose n-k}}\) i wzorem dwumianowym Newtona.
A jeśli miało być według mojej pierwszej wskazówki, to trochę żmudnie:
\(\displaystyle{ {9 \choose 4}={8 \choose 4}+{8 \choose 3}\\ {9 \choose 3}={8 \choose 3}+{8 \choose 2}\\{9 \choose 2}={8 \choose 2}+{8 \choose 1}\\ {9 \choose 1}={8 \choose 1}+{8 \choose 0}\\{9 \choose 0}- {9 \choose 1} +{9 \choose 2} -{9 \choose 3} +{9 \choose 4}=\\={9 \choose 0}-{8 \choose 0}-{8 \choose 1}+{8 \choose 1}+{8 \choose 2}-{8 \choose 2}-{8 \choose 3}+{8\choose 3}+{8\choose 4}=\dots}\)
-- 6 maja 2017, o 15:24 --
Sorry, ale takie rzeczy powinieneś sam robić. Zauważyłem, że najgorzej się uczę, gdy mam wszystko podane na tacy (a może to tylko moja przypadłość?).
-- 6 maja 2017, o 15:28 --
Pozwolę sobie jeszcze zwrócić uwagę na takie uogólnienie (zasada ta sama - środkowe badziewia się kasują i \(\displaystyle{ {k \choose 0}={k-1 \choose 0}=1}\), więc ich różnica to zero):
dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) mamy
\(\displaystyle{ {2n+1 \choose 0}-{2n+1 \choose 1}+{2n+1 \choose 2}\dots+(-1)^n {2n+1 \choose n}=(-1)^n{2n \choose n}}\)
\(\displaystyle{ 0^9=(-1+1)^9}\), własnością \(\displaystyle{ {n \choose k}={n \choose n-k}}\) i wzorem dwumianowym Newtona.
A jeśli miało być według mojej pierwszej wskazówki, to trochę żmudnie:
\(\displaystyle{ {9 \choose 4}={8 \choose 4}+{8 \choose 3}\\ {9 \choose 3}={8 \choose 3}+{8 \choose 2}\\{9 \choose 2}={8 \choose 2}+{8 \choose 1}\\ {9 \choose 1}={8 \choose 1}+{8 \choose 0}\\{9 \choose 0}- {9 \choose 1} +{9 \choose 2} -{9 \choose 3} +{9 \choose 4}=\\={9 \choose 0}-{8 \choose 0}-{8 \choose 1}+{8 \choose 1}+{8 \choose 2}-{8 \choose 2}-{8 \choose 3}+{8\choose 3}+{8\choose 4}=\dots}\)
-- 6 maja 2017, o 15:24 --
Sorry, ale takie rzeczy powinieneś sam robić. Zauważyłem, że najgorzej się uczę, gdy mam wszystko podane na tacy (a może to tylko moja przypadłość?).
-- 6 maja 2017, o 15:28 --
Pozwolę sobie jeszcze zwrócić uwagę na takie uogólnienie (zasada ta sama - środkowe badziewia się kasują i \(\displaystyle{ {k \choose 0}={k-1 \choose 0}=1}\), więc ich różnica to zero):
dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) mamy
\(\displaystyle{ {2n+1 \choose 0}-{2n+1 \choose 1}+{2n+1 \choose 2}\dots+(-1)^n {2n+1 \choose n}=(-1)^n{2n \choose n}}\)