Funkcja tworząca ciągu - podstawowe informacje
-
- Użytkownik
- Posty: 509
- Rejestracja: 1 paź 2011, o 16:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 156 razy
- Pomógł: 3 razy
Funkcja tworząca ciągu - podstawowe informacje
Witam.
Mam spore problemy z rozwiązywaniem zadań z funkcji tworzących, których nawet nie ruszyłem na zajęciach a trzeba je umieć.
Wziąłem sobie jakieś dowolne zadanie:
Wyznacz f. tworzącą ciągu:
\(\displaystyle{ a_{n}=n+1}\)
\(\displaystyle{ A(x)= \sum_{i=0}^{n} (n+1)x ^{n}}\)
Co teraz powinienem uzyskać z tego równania? Do jakiej postaci doprowadzić to równanie?
Jakby mi ktoś mógł napisać jakiś schemat, albo mniej więcej jak to się rozwiązuje.
Dziękuję i Pozdrawiam.
Mam spore problemy z rozwiązywaniem zadań z funkcji tworzących, których nawet nie ruszyłem na zajęciach a trzeba je umieć.
Wziąłem sobie jakieś dowolne zadanie:
Wyznacz f. tworzącą ciągu:
\(\displaystyle{ a_{n}=n+1}\)
\(\displaystyle{ A(x)= \sum_{i=0}^{n} (n+1)x ^{n}}\)
Co teraz powinienem uzyskać z tego równania? Do jakiej postaci doprowadzić to równanie?
Jakby mi ktoś mógł napisać jakiś schemat, albo mniej więcej jak to się rozwiązuje.
Dziękuję i Pozdrawiam.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Funkcja tworząca ciągu - podstawowe informacje
Czasem pomaga różniczkowanie i całkowanie wyraz po wyrazie (wewnątrz przedziału zbieżności możemy różniczkować i całkować szeregi potęgowe wyraz po wyrazie), a czasem np. zmiana kolejności sumowania. Jest też często używany fakt, że
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}}\) dla \(\displaystyle{ |x|<1}\)
Niepoprawnie zapisałeś funkcję tworzącą dla tego ciągu. Mamy dla \(\displaystyle{ a_n=n+1}\):
\(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)x^n=\sum_{n=0}^{+\infty}(x^{n+1})'=\\=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n+1} \right)'=\left(\frac {x}{1-x}\right)'=\frac{1}{(1-x)^2}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}}\) dla \(\displaystyle{ |x|<1}\)
Niepoprawnie zapisałeś funkcję tworzącą dla tego ciągu. Mamy dla \(\displaystyle{ a_n=n+1}\):
\(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)x^n=\sum_{n=0}^{+\infty}(x^{n+1})'=\\=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n+1} \right)'=\left(\frac {x}{1-x}\right)'=\frac{1}{(1-x)^2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 509
- Rejestracja: 1 paź 2011, o 16:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 156 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Funkcja tworząca ciągu - podstawowe informacje
A czy w przypadku takiego zadania:
\(\displaystyle{ a _{n}=nq ^{n}}\)
\(\displaystyle{ q \in R \setminus \left\{ 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} nq ^{n} x ^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty} n(qx)^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty}= \frac{qx}{(1-qx) ^{2}}}\)
Zastosowałem tutaj funkcję tworzącą dla ciągu \(\displaystyle{ a _{n}=n}\), czyli \(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}nx ^{n} = \frac{x}{(1-x) ^{2} }}\)
Czy to jest poprawne?
\(\displaystyle{ a _{n}=nq ^{n}}\)
\(\displaystyle{ q \in R \setminus \left\{ 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} nq ^{n} x ^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty} n(qx)^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty}= \frac{qx}{(1-qx) ^{2}}}\)
Zastosowałem tutaj funkcję tworzącą dla ciągu \(\displaystyle{ a _{n}=n}\), czyli \(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}nx ^{n} = \frac{x}{(1-x) ^{2} }}\)
Czy to jest poprawne?
-
- Użytkownik
- Posty: 509
- Rejestracja: 1 paź 2011, o 16:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 156 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Funkcja tworząca ciągu - podstawowe informacje
\(\displaystyle{ a _{n}=3 ^{n}+n2 ^{n}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} (3 ^{n}+n2 ^{n}) x ^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty} (3 ^{n}x ^{n})+\sum_{n=0}^{+\infty}(n2 ^{n} x ^{n})}=\sum_{n=0}^{+\infty} (3x) ^{n}+\sum_{n=0}^{+\infty}n(2x) ^{n}}= \frac{1}{1-3x}+ \frac{2x}{(1-2x) ^{2}}}\)
Poprawnie?
To to już mniej więcej rozumiem, a w jaki sposób wyznaczyć ciąg o podanej funkcji tworzącej np.
\(\displaystyle{ A(x)= \frac{x}{6x ^{2}-5x+1 }}\)
Tzn. mam teraz doprowadzić to równanie do takiej postaci, aby pojawiły się tam czynniki tj. \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}}\) etc.?
Innymi słowy zacząć od końca?
\(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} (3 ^{n}+n2 ^{n}) x ^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty} (3 ^{n}x ^{n})+\sum_{n=0}^{+\infty}(n2 ^{n} x ^{n})}=\sum_{n=0}^{+\infty} (3x) ^{n}+\sum_{n=0}^{+\infty}n(2x) ^{n}}= \frac{1}{1-3x}+ \frac{2x}{(1-2x) ^{2}}}\)
Poprawnie?
To to już mniej więcej rozumiem, a w jaki sposób wyznaczyć ciąg o podanej funkcji tworzącej np.
\(\displaystyle{ A(x)= \frac{x}{6x ^{2}-5x+1 }}\)
Tzn. mam teraz doprowadzić to równanie do takiej postaci, aby pojawiły się tam czynniki tj. \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}}\) etc.?
Innymi słowy zacząć od końca?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Funkcja tworząca ciągu - podstawowe informacje
Dla \(\displaystyle{ a _{n}=3 ^{n}+n2 ^{n}}\) wyznaczyłeś funkcję tworzącą poprawnie.
Co do tego nowego, rozłóż
\(\displaystyle{ frac{x}{6x ^{2}-5x+1 }}\) na ułamki proste (jak nie wiesz, o co w tym chodzi, to zajrzyj może tu: 298450.htm) i dopasuj do wzorków, które już stosowałeś, tj.
\(\displaystyle{ sum_{n=0}^{ infty }(ax)^n=frac{1}{1-ax}\ sum_{n=0}^{ infty }n(ax)^n=frac{ax}{(1-ax)^2}}\)
Co do tego nowego, rozłóż
\(\displaystyle{ frac{x}{6x ^{2}-5x+1 }}\) na ułamki proste (jak nie wiesz, o co w tym chodzi, to zajrzyj może tu: 298450.htm) i dopasuj do wzorków, które już stosowałeś, tj.
\(\displaystyle{ sum_{n=0}^{ infty }(ax)^n=frac{1}{1-ax}\ sum_{n=0}^{ infty }n(ax)^n=frac{ax}{(1-ax)^2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 509
- Rejestracja: 1 paź 2011, o 16:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 156 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Funkcja tworząca ciągu - podstawowe informacje
Dobra, to Tym zajmę się jutro, a dziś jeszcze mam pytanie odnośnie wyznaczania funkcji tworzących.
Jeśli mam wyznaczyć f. tworzącą sumy dwóch ciągów przy czym określone są one następująco:
\(\displaystyle{ a _{n}=(-1) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ b _{n}=\begin{cases} 1 &\text{dla } n =2k\\0 &\text{dla } n=2k+1 \end{cases}}\)
To mam osobno wykonać funkcję tworzącą dla wyrazów o indeksach parzystych i nieparzystych i na końcu zsumować? Tzn. W obydwóch przypadkach \(\displaystyle{ a _{n}}\) się nie zmienia, ale \(\displaystyle{ b _{n}}\) przyjmuje inną wartość.
Jeśli mam wyznaczyć f. tworzącą sumy dwóch ciągów przy czym określone są one następująco:
\(\displaystyle{ a _{n}=(-1) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ b _{n}=\begin{cases} 1 &\text{dla } n =2k\\0 &\text{dla } n=2k+1 \end{cases}}\)
To mam osobno wykonać funkcję tworzącą dla wyrazów o indeksach parzystych i nieparzystych i na końcu zsumować? Tzn. W obydwóch przypadkach \(\displaystyle{ a _{n}}\) się nie zmienia, ale \(\displaystyle{ b _{n}}\) przyjmuje inną wartość.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Funkcja tworząca ciągu - podstawowe informacje
No w sumie można tak powiedzieć. Wtedy funkcja tworząca \(\displaystyle{ (b_n)}\)
to \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }x^{2n}}\)
to \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }x^{2n}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 509
- Rejestracja: 1 paź 2011, o 16:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 156 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Funkcja tworząca ciągu - podstawowe informacje
Można to zapisać w ten sposób?
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }1x ^{n}+0x ^{n}}\)?
Tylko czemu w wykładniku jest \(\displaystyle{ 2}\)?
Czy dobrze myślę, że to zależy dla jakiego przedziału to jest? Tzn moje równanie po poprawie wyglądałoby tak:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }1x ^{2n}+0x ^{n}}\)
albo
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }1x ^{2n}+0x ^{2n+1}}\)?
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }1x ^{n}+0x ^{n}}\)?
Tylko czemu w wykładniku jest \(\displaystyle{ 2}\)?
Czy dobrze myślę, że to zależy dla jakiego przedziału to jest? Tzn moje równanie po poprawie wyglądałoby tak:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }1x ^{2n}+0x ^{n}}\)
albo
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }1x ^{2n}+0x ^{2n+1}}\)?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Funkcja tworząca ciągu - podstawowe informacje
Nie, to jest zupełnie źle. Funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ (b_n)}\) jestMożna to zapisać w ten sposób?
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }1x ^{n}+0x ^{n}?}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } b_n x^n}\)
Mamy \(\displaystyle{ b_0=1, b_1=0, b_2=1, b_3=0, b_4=1\dots}\) czyli przy jednomianach o potędze nieparzystej stoją współczynniki równe zero, a przy parzystych - jedynki. Stąd
funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ (b_n)}\) jest \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }x^{2n}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 509
- Rejestracja: 1 paź 2011, o 16:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 156 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Funkcja tworząca ciągu - podstawowe informacje
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }(-1) ^{n}x ^{n} +1x ^{2n}=\sum_{n=0}^{ \infty }(-x) ^{n} +x ^{2n}= \frac{1}{1+x}+ \frac{1}{(1-x) ^{2}}}\)
Czy możliwy jest taki zapis?
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }(-1) ^{n}x ^{n} +1x ^{2n}=\sum_{n=0}^{ \infty }(-x) ^{n} +x ^{2n}= \frac{1}{1+x}+ \frac{1}{(1-x) ^{2}}}\)
Czy możliwy jest taki zapis?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Funkcja tworząca ciągu - podstawowe informacje
Ja bym dodał jakieś nawiasy, w stylu
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\left[(-x) ^{n} +x ^{2n}\right]}\),
a ponadto ostatnia równość nie jest prawdziwa, gdyż zazwyczaj
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } x^{2n} \neq \frac{1}{(1-x) ^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\left[(-x) ^{n} +x ^{2n}\right]}\),
a ponadto ostatnia równość nie jest prawdziwa, gdyż zazwyczaj
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } x^{2n} \neq \frac{1}{(1-x) ^{2}}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 509
- Rejestracja: 1 paź 2011, o 16:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 156 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Funkcja tworząca ciągu - podstawowe informacje
Mógłbym prosić o jakąś podpowiedź co zrobić z \(\displaystyle{ x ^{2n}}\)?
Jeśli mamy np udowodnić, że \(\displaystyle{ B(x)=A(x) \cdot x}\)
\(\displaystyle{ b _{n}=\begin{cases} 0 &\text{dla } n =2k\\1 &\text{dla } n=2k+1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a _{n}=\begin{cases} 1 &\text{dla } n =2k\\0 &\text{dla } n=2k+1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} 1x^{2n}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n}}\)
\(\displaystyle{ B(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}1x^{2n+1}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n+1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n+1}=x\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n+1}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n+1}}\)
Czy to jest poprawnie i czy trzeba dalej to rozwiązywać?
Jeśli mamy np udowodnić, że \(\displaystyle{ B(x)=A(x) \cdot x}\)
\(\displaystyle{ b _{n}=\begin{cases} 0 &\text{dla } n =2k\\1 &\text{dla } n=2k+1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a _{n}=\begin{cases} 1 &\text{dla } n =2k\\0 &\text{dla } n=2k+1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} 1x^{2n}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n}}\)
\(\displaystyle{ B(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}1x^{2n+1}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n+1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n+1}=x\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n+1}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n+1}}\)
Czy to jest poprawnie i czy trzeba dalej to rozwiązywać?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Funkcja tworząca ciągu - podstawowe informacje
No to przecież proste jest.Mógłbym prosić o jakąś podpowiedź co zrobić z \(\displaystyle{ x ^{2n}}\)?
\(\displaystyle{ x^{2n}=(x^2)^n}\) i wzór na sumę szeregu geometrycznego.
A to nowe zadanie zrobiłeś dobrze.
-
- Użytkownik
- Posty: 509
- Rejestracja: 1 paź 2011, o 16:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 156 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Funkcja tworząca ciągu - podstawowe informacje
Wyznaczyć ciąg o podanej funkcji tworzącej:
\(\displaystyle{ A(x)= \frac{1}{2x ^{2}-3x+1 }}\)
\(\displaystyle{ A(x)= \frac{1}{(x- \frac{1}{2})(x-1) }=\frac{2}{(1-2x)(1-x) }}\)
\(\displaystyle{ =\frac{A}{(1-2x) }+ \frac{B}{(1-x)}= \frac{A+b+x(-A-2B)}{(1-2x)(1-x)}}\)
\(\displaystyle{ A=4}\)
\(\displaystyle{ B=-2}\)
\(\displaystyle{ \frac{4}{(1-2x) }+ \frac{-2}{(1-x)}=4\sum_{n=0}^{+\infty}(2x)^{n}-2\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n}}\)
\(\displaystyle{ a _{n}=4 \cdot 2 ^{n} -2}\)
Poprawnie rozwiązane?
Nie rozumiem pewnej kwestii, mianowicie:
\(\displaystyle{ A(x)= \frac{1}{(x- \frac{1}{2})(x-1)}}\)
I teraz musimy doprowadzić do postaci \(\displaystyle{ (1-qx)}\)
To wynikiem będzie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1- 2x)(1-x)}}\)
Czy może
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \frac{1}{(1- 2x)(1-x)}}\) ?
Rozwiązując zadanie z bez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) wychodzi tak jak powinno, ale nie wiem czemu tam znika ta \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ A(x)= \frac{1}{2x ^{2}-3x+1 }}\)
\(\displaystyle{ A(x)= \frac{1}{(x- \frac{1}{2})(x-1) }=\frac{2}{(1-2x)(1-x) }}\)
\(\displaystyle{ =\frac{A}{(1-2x) }+ \frac{B}{(1-x)}= \frac{A+b+x(-A-2B)}{(1-2x)(1-x)}}\)
\(\displaystyle{ A=4}\)
\(\displaystyle{ B=-2}\)
\(\displaystyle{ \frac{4}{(1-2x) }+ \frac{-2}{(1-x)}=4\sum_{n=0}^{+\infty}(2x)^{n}-2\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n}}\)
\(\displaystyle{ a _{n}=4 \cdot 2 ^{n} -2}\)
Poprawnie rozwiązane?
Nie rozumiem pewnej kwestii, mianowicie:
\(\displaystyle{ A(x)= \frac{1}{(x- \frac{1}{2})(x-1)}}\)
I teraz musimy doprowadzić do postaci \(\displaystyle{ (1-qx)}\)
To wynikiem będzie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1- 2x)(1-x)}}\)
Czy może
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \frac{1}{(1- 2x)(1-x)}}\) ?
Rozwiązując zadanie z bez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) wychodzi tak jak powinno, ale nie wiem czemu tam znika ta \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)