Wszystkie liczby całkowite dodatnie są koloru czerwonego lub zielonego.
Udowodnij, że istnieją takie różne liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), że liczby \(\displaystyle{ a,b,a+b}\) są tego samego koloru.
Kolorowanie liczb
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Kolorowanie liczb
Można łopatologicznie dojść do konkluzji w następujący sposób (nie wprost):
Liczby naturalne podzielono na dwa rozłączne zbiory \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ A'}\) takie, że \(\displaystyle{ A\cup A'=\mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ A\cap A'=\emptyset}\). Wbrew tezie przypuśćmy, że dla każdych różnych \(\displaystyle{ a,b\in A}\) mamy \(\displaystyle{ a+b\in A'}\) oraz podobnie dla różnych \(\displaystyle{ a',b'\in A'}\) zachodzi \(\displaystyle{ a'+b'\in A}\) (innymi słowy każda suma dwóch różnych liczb tego samego koloru jest innego koloru).
Weźmy \(\displaystyle{ a,b\in A}\) tak, że \(\displaystyle{ b>2a}\) (gdyby nie dało się dobrać takiego \(\displaystyle{ b}\), zbiór \(\displaystyle{ A}\) byłby ograniczony, a więc od pewnego miejsca wszystkie liczby byłyby jednego koloru \(\displaystyle{ A'}\) co pociągałoby tezę). Z hipotezy mamy \(\displaystyle{ a+b\in A'}\), ale także \(\displaystyle{ b-a\in A'}\): w przeciwnym razie znaleźlibyśmy dwie różne (patrz: założenie \(\displaystyle{ b>2a}\)) liczby tego samego koloru, których suma \(\displaystyle{ a + (b-a) = b}\) jest tego samego koloru. Stąd \(\displaystyle{ (a+b)+(b-a)=2b\in A}\). Podobnie sprawdzamy, że \(\displaystyle{ 2b-a\in A'}\), ponieważ w przeciwnym razie znaleźlibyśmy trójkę \(\displaystyle{ a + (2b-a) = 2b}\) tego samego koloru.
Zatem
\(\displaystyle{ \underbrace{b}_{\in A}+\underbrace{2b}_{\in A}=3b\in A'}\)
oraz jednocześnie
\(\displaystyle{ \underbrace{2b-a}_{\in A'}+\underbrace{a+b}_{\in A'}=3b\in A}\)
Stąd \(\displaystyle{ 3b\in A\cap A'=\emptyset}\), sprzeczność.
Liczby naturalne podzielono na dwa rozłączne zbiory \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ A'}\) takie, że \(\displaystyle{ A\cup A'=\mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ A\cap A'=\emptyset}\). Wbrew tezie przypuśćmy, że dla każdych różnych \(\displaystyle{ a,b\in A}\) mamy \(\displaystyle{ a+b\in A'}\) oraz podobnie dla różnych \(\displaystyle{ a',b'\in A'}\) zachodzi \(\displaystyle{ a'+b'\in A}\) (innymi słowy każda suma dwóch różnych liczb tego samego koloru jest innego koloru).
Weźmy \(\displaystyle{ a,b\in A}\) tak, że \(\displaystyle{ b>2a}\) (gdyby nie dało się dobrać takiego \(\displaystyle{ b}\), zbiór \(\displaystyle{ A}\) byłby ograniczony, a więc od pewnego miejsca wszystkie liczby byłyby jednego koloru \(\displaystyle{ A'}\) co pociągałoby tezę). Z hipotezy mamy \(\displaystyle{ a+b\in A'}\), ale także \(\displaystyle{ b-a\in A'}\): w przeciwnym razie znaleźlibyśmy dwie różne (patrz: założenie \(\displaystyle{ b>2a}\)) liczby tego samego koloru, których suma \(\displaystyle{ a + (b-a) = b}\) jest tego samego koloru. Stąd \(\displaystyle{ (a+b)+(b-a)=2b\in A}\). Podobnie sprawdzamy, że \(\displaystyle{ 2b-a\in A'}\), ponieważ w przeciwnym razie znaleźlibyśmy trójkę \(\displaystyle{ a + (2b-a) = 2b}\) tego samego koloru.
Zatem
\(\displaystyle{ \underbrace{b}_{\in A}+\underbrace{2b}_{\in A}=3b\in A'}\)
oraz jednocześnie
\(\displaystyle{ \underbrace{2b-a}_{\in A'}+\underbrace{a+b}_{\in A'}=3b\in A}\)
Stąd \(\displaystyle{ 3b\in A\cap A'=\emptyset}\), sprzeczność.