Uzasadnij tożsamość kombinatorycznie.

[0Mniac]

Witam. Polecenie jak w temacie. Tożsamość to:

\(\displaystyle{ {2n \choose 2} = 2 {n \choose 2} + n^{2}}\)

I ni cholery nie potrafię tego wyjaśnić.
Staram się mniej więcej tak:

L: ze zbioru \(\displaystyle{ n}\) mężczyzn i \(\displaystyle{ m}\) kobiet wybieram \(\displaystyle{ 2}\) osoby
P: wybieram \(\displaystyle{ 2}\) osoby ze zbioru mężczyzn lub kobiet, wybierając który to zbiór + ???

[Premislav]

Dlaczego dzielisz ludzi na kobiety i mężczyzn? Typowa polska, katolska zaściankowość, przecież płeć nie jest kwestią zero-jedynkową, a poza tym to kwestia wyboru i wewnętrznego poczucia.
Dobra, żarty odłóżmy na bok (powiedział rekrutujący, odkładając moje CV).

Ja to widzę tak: wybieramy podzbiór dwuelementowy ze zbioru mającego \(\displaystyle{ 2n}\) elementów. Z jednej strony oczywiście możemy to zrobić na \(\displaystyle{ {2n \choose 2}}\) sposobów. Z drugiej strony podzielmy sobie ten zbiór o \(\displaystyle{ 2n}\) elementów na dwa podzbiory po \(\displaystyle{ n}\) elementów każdy. I teraz policzmy: podzbiór dwuelementowy możemy skonstruować tak:
-albo wybrać po jednym elemencie z obu części, mamy \(\displaystyle{ n\cdot n=n^2}\) możliwości takiego wyboru;
-albo wybrać tylko z pierwszego z n-elementowych zbiorów: jest \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) tak skonstruowanych podzbiorów;
-albo brać tylko z tego drugiego, znów \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) możliwości.
sumując te trzy opcje, dostajemy \(\displaystyle{ n^2+2{n \choose 2}}\) podzbiorów dwuelementowych, c.k.d.

[0Mniac]

Dzięki, + za żart