Witam. Mam do obliczenia taką sumę, ma ktoś sposób, bo jakoś nie potrafię dojść co z tym począć?
\(\displaystyle{ {101 \choose 51} + {101 \choose 52} + {101 \choose 53} + ... + {101 \choose 100}}\)
Oblicz sumę symboli newtona.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Oblicz sumę symboli newtona.
Zauważ, że \(\displaystyle{ {n \choose k}={n \choose n-k}}\)
Ponadto mamy \(\displaystyle{ 2^{101}={101 \choose 0}+{101 \choose 1}+\dots+{101 \choose 50}+{101 \choose 51}+\dots+{101 \choose 100}+{101 \choose 101}}\)
jeśli zwrócimy uwagę, że \(\displaystyle{ {101 \choose 0}=1}\) i odejmiemy coś stronami oraz oznaczymy poszukiwaną przez Ciebie sumę przez \(\displaystyle{ S}\), to otrzymujemy stąd
\(\displaystyle{ 2S=2^{101}-2}\)
Ponadto mamy \(\displaystyle{ 2^{101}={101 \choose 0}+{101 \choose 1}+\dots+{101 \choose 50}+{101 \choose 51}+\dots+{101 \choose 100}+{101 \choose 101}}\)
jeśli zwrócimy uwagę, że \(\displaystyle{ {101 \choose 0}=1}\) i odejmiemy coś stronami oraz oznaczymy poszukiwaną przez Ciebie sumę przez \(\displaystyle{ S}\), to otrzymujemy stąd
\(\displaystyle{ 2S=2^{101}-2}\)