Rozpisanie wyrażenia do 4 potęgi

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
stefan13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 11 cze 2014, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 41 razy

Rozpisanie wyrażenia do 4 potęgi

Post autor: stefan13 »

Mając podane takie wyrażenie:
\(\displaystyle{ (x+2y+3z)^{4}}\)
mamy podać współczynnik stojący przy \(\displaystyle{ x^{2}yz}\) i \(\displaystyle{ x^{3}z}\).
Jak możemy to rozwiązać kombinatorycznie?

Chciałbym zrozumieć sposób na rozpisywanie tego typu zadań

Wiem, że rozwiązanie do \(\displaystyle{ x^{3}z}\) wygląda tak:
\(\displaystyle{ x,x,2y,3z}\) i

\(\displaystyle{ \frac{4!}{2!1!1!} = 12}\)

Dlaczego mamy dwa x?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Rozpisz wyrażenien

Post autor: kerajs »

Bajka kombinatoryczna:
Trasa rajdu ma cztery (potęga nawiasu) etapy. Każdy z nich można przebyć jedną z trzech tras: x (łatwą), 2y(średnią), 3z (trudną).
\(\displaystyle{ x^2yz}\) Marek wybrał dwa odcinki łatwe, średni i trudny. Mógł to zrobić na \(\displaystyle{ \frac{4!}{2!}}\) sposobów (dzielę przez 2! bo odcinek łatwy powtórzył się dwukrotnie).
Szukany współczynnik wynosi \(\displaystyle{ 72}\) bo: \(\displaystyle{ \frac{4!}{2!}x^2(2y)(3z)=72x^2yz}\)
\(\displaystyle{ x^3z}\) Wojtek wybrał trzy odcinki łatwe i jeden trudny. Mógł to zrobić na \(\displaystyle{ \frac{4!}{3!}}\) sposobów (dzielę przez 3! bo odcinek łatwy powtórzył się trzykrotnie).
Szukany współczynnik wynosi \(\displaystyle{ 12}\) bo: \(\displaystyle{ \frac{4!}{3!}x^3(3z)=12x^3z}\)

EDIT
Niby to tylko bajka, ale i tak błąd logiczny mi wytknięto.
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2017, o 16:51 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Cytryn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 405
Rejestracja: 17 wrz 2016, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 46 razy

Rozpisanie wyrażenia do 4 potęgi

Post autor: Cytryn »

Taka drobna uwaga językowa: powtórzył się raz, wystąpił dwukrotnie.
qwertghjio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 5 paź 2016, o 14:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: pzn
Podziękował: 3 razy

Rozpisanie wyrażenia do 4 potęgi

Post autor: qwertghjio »

Zobacz, że one się ze sobą mieszają.
\(\displaystyle{ (a+b)^{3} = (a+b)(a+b)(a+b) = (aa + ab + ba + bb)(a+b) = (aaa + aba + baa + bba + aab + abb + bab + bbb)}\)
Co się dzieje jak dodasz kolejny element? Sam sprawdź rozpisując analogicznie jak ja to zrobiłem.

PS: \(\displaystyle{ a^{2} b = aab = aba = baa}\)
ODPOWIEDZ