Ciąg zadany liniowym wzorem rekurencyjnym

[ly000]

Wyznacz współczynniki \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) w definicji rekurencyjnej ciągu, którego wzór jawny ma postać \(\displaystyle{ a_n = 3^n}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_0 = 1, a_1=3\\
a_n=Aa_{n-1} +Ba_{n-2} \end{cases}}\)
Należy skorzystać z metody z wielomianem charakterystycznym.

[Premislav]

Wielomian charakterystyczny ma postać
\(\displaystyle{ t^2-At-B}\)
Wówczas rozwiązanie ogólne jest postaci \(\displaystyle{ C_1 t_1^n+C_2 t_2^n}\), gdzie \(\displaystyle{ C_1, C_2}\) to stałe, zaś \(\displaystyle{ t_1, t_2}\) - pierwiastki wielomianu charakterystycznego (przy założeniu, że ma on dokładnie dwa pierwiastki).
By mogło być \(\displaystyle{ a_n=3^n}\). jego pierwiastkami muszą być \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 3}\), czyli
\(\displaystyle{ B=0, A=3}\).

[ly000]

Trochę nie rozumiem skąd założenie, że wielomian ma dokładnie dwa pierwiastki? A co jeśli ma jeden pierwiastek, który jest równy 3?

[a4karo]

Trochę nie rozumiem skąd założenie, że wielomian ma dokładnie dwa pierwiastki? A co jeśli ma jeden pierwiastek, który jest równy 3?

Równanie kwadratowe ma na ogół dwa pierwiastki. Jeżeli są równe (np. równe #\(\displaystyle{ 3}\), to rozwiązanie ogólne będzie postaci \(\displaystyle{ (A+Bn)\cdot 3^n}\), co też prowadzi do \(\displaystyle{ A=1, B=0}\)

[ly000]

co też prowadzi do \(\displaystyle{ A=1, B=0}\)

Jak rozumiem, mówisz o innych \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) niż te szukane w zadaniu?
Pozwolę sobie zmienić je na \(\displaystyle{ C_1}\) oraz \(\displaystyle{ C_2}\).

\(\displaystyle{ (C_1+C_2n)\cdot 3^n}\), gdzie \(\displaystyle{ C_1=1, C_2= \frac{3-t_1}{t_1}}\)
\(\displaystyle{ (C_1+C_2n)\cdot 3^n = 3^n}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow C_2=\frac{3-t_1}{t_1} = 0}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow t_1 = 3}\)
\(\displaystyle{ \Delta_t=\sqrt{A^2+4B}=0}\)
\(\displaystyle{ t_1=\frac{A}{2} = 3}\)
\(\displaystyle{ A=6, B=-9}\)

Takich współczynników jest prawdopodobnie jeszcze więcej (np. \(\displaystyle{ A=12, B =-27}\)). Czy należałoby znaleźć je wszystkie? Można to zrobić w łatwy sposób?

[a4karo]

Kompletnie nie rozumiem co chciałes napisać powyżej.
Może spróbuj oprócz znaczków używać języka polskiego?

Jeżeli dla wszystkich naturalnych \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ (C_1+C_2n)3^n=3^n}\) to \(\displaystyle{ C_1=1, C_2=0}\) i tyle

[ly000]

Ponawiam pytanie.
W jaki sposób wyznaczyć wszystkie współczynniki \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)? Powyższymi metodami można wyznaczyć jedynie dwie pary \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), lecz takich współczynników jest nieskończenie wiele.

[a4karo]

Rozważmy ciąg \(\displaystyle{ b_n=a_n/3^n}\)
Ten ciąg spełnia równanie rekurencyjne
\(\displaystyle{ b_n=\frac{A}{3}b_{n-1}+\frac{B}{9}b_{n-2}}\) z warunkami początkowymi \(\displaystyle{ b_0=b_1=1}\)

Widać stąd, że ciąg \(\displaystyle{ b_n=1}\) będzie rozwiązaniem rekurencji wtedy i tylko wtedy gdy
\(\displaystyle{ 1=\frac{A}{3}+\frac{B}{9}}\)

[ly000]

W tym sposobie nie jest wykorzystywany wielomian charakterystyczny, więc nie jest to rozwiązanie spełniające warunki zadania.